Une méthode générale, et les équations sans solution ou avec une infinité de solutions

Résous 2y + 6 = 2(y + 3) et le y disparaît, il reste 6 = 6. Tout nombre est solution.

Cinq étapes qui marchent pour toute équation du premier degré

Tu as maintenant tous les outils nécessaires pour les équations du premier degré à une inconnue. OpenStax les rassemble en une méthode générale. Étape 1 : simplifie chaque membre autant que possible, en utilisant la distributivité pour supprimer les parenthèses et en réduisant les termes semblables. Étape 2 : regroupe tous les termes en x d'un côté. Étape 3 : regroupe toutes les constantes de l'autre côté. Étape 4 : ramène le coefficient de l'inconnue à 1, en divisant ou en multipliant. Étape 5 : vérifie la solution dans l'équation de départ. Toutes les équations n'ont pas besoin de toutes les étapes, mais les suivre dans l'ordre permet de garder le contrôle des longs problèmes.

Un exemple du manuel : −6(x + 3) = 24. Distribue le −6 aux deux termes entre parenthèses, ce qui donne −6x − 18 = 24. Il n'y a qu'un terme en x, l'étape 2 est donc faite. Ajoute 18 aux deux membres pour obtenir −6x = 42. Divise par −6 pour obtenir x = −7. Vérification : −6 × (−7 + 3) = −6 × (−4) = 24. L'erreur la plus fréquente ici consiste à distribuer le −6 au x mais pas au 3, ou à oublier son signe. Écris la multiplication en entier, −6 · x + (−6) · 3, si cela t'aide.

Trois sortes d'équations

La plupart des équations sont vraies pour une valeur et fausses pour toutes les autres, comme 7x + 8 = −13, qui n'est vraie que pour x = −3. OpenStax les appelle équations conditionnelles. Essaie maintenant 2y + 6 = 2(y + 3). Développe à droite : 2y + 6 = 2y + 6. Soustrais 2y aux deux membres et il te reste 6 = 6. L'inconnue a disparu et l'égalité qui reste est vraie. Cela veut dire que toutes les valeurs de y conviennent, et l'équation s'appelle une identité. Ses solutions sont tous les nombres réels.

La troisième sorte va dans l'autre sens. Résous 5z = 5z − 1 en soustrayant 5z aux deux membres, et tu obtiens 0 = −1. L'inconnue a encore disparu, mais cette fois l'égalité qui reste est fausse, et aucune valeur de z ne peut la rendre vraie. Une telle équation est une contradiction, et elle n'a pas de solution. Donc quand l'inconnue disparaît pendant la résolution, regarde ce qui reste : une égalité vraie veut dire tous les nombres, une égalité fausse veut dire aucun nombre. N'écris x = 0 dans aucun des deux cas.

Le laboratoire de graphiques montre pourquoi. Pour ax + b = cx + d, les deux membres sont des droites de pentes a et c. Si a et c sont différents, les droites se croisent une fois : équation conditionnelle. Si a est égal à c et b égal à d, les droites sont confondues, tracées l'une sur l'autre : identité. Si a est égal à c mais b différent de d, les droites sont parallèles et ne se rencontrent jamais : contradiction. Mets a = 2, b = 6, c = 2, d = 6 et regarde la droite orange cacher la bleue.