Una strategia generale, ed equazioni senza soluzioni o con tutte

Risolvi 2y + 6 = 2(y + 3) e la y sparisce, lasciando 6 = 6. Ogni numero è una soluzione.

Cinque passi che funzionano su qualsiasi equazione lineare

Ormai hai tutti gli strumenti per le equazioni lineari in una variabile. OpenStax li riunisce in una strategia generale. Passo 1: semplifica ogni membro il più possibile, usando la proprietà distributiva per eliminare le parentesi e sommando i termini simili. Passo 2: raccogli tutti i termini con la variabile in un membro. Passo 3: raccogli tutti i termini noti nell'altro membro. Passo 4: rendi 1 il coefficiente della variabile, dividendo o moltiplicando. Passo 5: verifica la soluzione nell'equazione di partenza. Non ogni equazione richiede tutti i passi, ma seguirli in ordine tiene sotto controllo i problemi lunghi.

Un esempio dal libro di testo: −6(x + 3) = 24. Distribuisci il −6 a entrambi i termini tra parentesi e ottieni −6x − 18 = 24. C'è un solo termine con la variabile, quindi il passo 2 è fatto. Aggiungi 18 a entrambi i membri e ottieni −6x = 42. Dividi per −6 e ottieni x = −7. Verifica: −6 × (−7 + 3) = −6 × (−4) = 24. L'errore più comune qui è distribuire il −6 alla x ma non al 3, o perderne il segno. Se aiuta, scrivi la moltiplicazione per esteso, −6 · x + (−6) · 3.

Tre tipi di equazione

La maggior parte delle equazioni è vera per un valore e falsa per tutti gli altri, come 7x + 8 = −13, vera solo per x = −3. Sono equazioni determinate (OpenStax le chiama condizionali). Ora prova 2y + 6 = 2(y + 3). Distribuisci a destra: 2y + 6 = 2y + 6. Sottrai 2y da entrambi i membri e resta 6 = 6. La variabile è sparita e l'affermazione che rimane è vera. Vuol dire che ogni valore di y funziona, e l'equazione si chiama identità (equazione indeterminata). La sua soluzione è l'insieme di tutti i numeri reali.

Il terzo tipo va nella direzione opposta. Risolvi 5z = 5z − 1 sottraendo 5z da entrambi i membri e ottieni 0 = −1. La variabile è di nuovo sparita, ma questa volta l'affermazione rimasta è falsa, e nessun valore di z può renderla vera. Un'equazione così è impossibile (una contraddizione) e non ha soluzione. Quindi, quando la variabile sparisce mentre risolvi, guarda che cosa resta: un'affermazione vera significa ogni numero, una falsa significa nessun numero. In nessuno dei due casi scrivere x = 0.

Il laboratorio grafico mostra il perché. Per ax + b = cx + d i due membri sono rette con pendenze a e c. Se a e c sono diversi, le rette si incontrano una volta: equazione determinata. Se a è uguale a c e b è uguale a d, le rette sono la stessa retta, disegnata una sopra l'altra: identità. Se a è uguale a c ma b è diverso da d, le rette sono parallele e non si incontrano mai: equazione impossibile. Imposta a = 2, b = 6, c = 2, d = 6 e guarda la retta arancione nascondere quella blu.