Una estrategia general, y ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones

Resuelve 2y + 6 = 2(y + 3) y la y desaparece, dejando 6 = 6. Todos los números son solución.

Cinco pasos que sirven para cualquier ecuación lineal

Ya tienes todas las herramientas para las ecuaciones lineales con una incógnita. OpenStax las reúne en una estrategia general. Paso 1: simplifica cada lado todo lo posible, usando la propiedad distributiva para quitar paréntesis y reduciendo términos semejantes. Paso 2: reúne todos los términos con variable en un lado. Paso 3: reúne todas las constantes en el otro lado. Paso 4: haz que el coeficiente de la variable sea 1, dividiendo o multiplicando. Paso 5: comprueba la solución en la ecuación original. No todas las ecuaciones necesitan todos los pasos, pero seguirlos en orden mantiene bajo control los problemas largos.

Un ejemplo del libro de texto: −6(x + 3) = 24. Aplica la propiedad distributiva multiplicando −6 por los dos términos del paréntesis, lo que da −6x − 18 = 24. Solo hay un término con variable, así que el paso 2 está hecho. Suma 18 a los dos lados para obtener −6x = 42. Divide entre −6 para obtener x = −7. Comprobación: −6 × (−7 + 3) = −6 × (−4) = 24. El error más común aquí es multiplicar −6 por la x pero no por el 3, o perder su signo. Si te ayuda, escribe la multiplicación completa: −6 · x + (−6) · 3.

Tres tipos de ecuación

La mayoría de las ecuaciones son verdaderas para un valor y falsas para todos los demás, como 7x + 8 = −13, que solo es verdadera cuando x = −3. OpenStax las llama ecuaciones condicionales. Ahora prueba 2y + 6 = 2(y + 3). Aplica la propiedad distributiva a la derecha: 2y + 6 = 2y + 6. Resta 2y a los dos lados y te queda 6 = 6. La variable ha desaparecido y la afirmación que queda es verdadera. Eso significa que cualquier valor de y sirve, y la ecuación se llama identidad. Su solución son todos los números reales.

El tercer tipo va al revés. Resuelve 5z = 5z − 1 restando 5z a los dos lados y obtienes 0 = −1. La variable ha vuelto a desaparecer, pero esta vez la afirmación que queda es falsa, y ningún valor de z puede hacerla verdadera. Una ecuación así es una contradicción, y no tiene solución. Así que, cuando la variable desaparece mientras resuelves, mira lo que queda: una afirmación verdadera significa todos los números; una falsa, ningún número. No escribas x = 0 en ninguno de los dos casos.

El laboratorio de gráficas muestra por qué. En ax + b = cx + d, los dos lados son rectas con pendientes a y c. Si a y c son distintas, las rectas se cortan una vez: una ecuación condicional. Si a es igual a c y b es igual a d, las rectas son la misma recta, dibujada una encima de la otra: una identidad. Si a es igual a c pero b es distinta de d, las rectas son paralelas y nunca se cortan: una contradicción. Pon a = 2, b = 6, c = 2, d = 6 y mira cómo la recta naranja tapa la azul.