Общий план и уравнения без корней или с бесконечным числом корней

Реши 2y + 6 = 2(y + 3), и y исчезнет, оставив 6 = 6. Любое число является корнем.

Пять шагов для любого линейного уравнения

Теперь у тебя есть все инструменты для линейных уравнений с одной переменной. OpenStax собирает их в общий план. Шаг 1: упрости каждую часть насколько можно, раскрывая скобки по распределительному свойству и приводя подобные слагаемые. Шаг 2: собери все слагаемые с переменной в одной части. Шаг 3: собери все свободные члены в другой части. Шаг 4: сделай коэффициент при переменной равным 1 делением или умножением. Шаг 5: проверь корень в исходном уравнении. Не каждому уравнению нужны все шаги, но если проходить их по порядку, длинные задачи остаются под контролем.

Пример из учебника: −6(x + 3) = 24. Умножь −6 на оба слагаемых в скобках, получится −6x − 18 = 24. Слагаемое с переменной одно, так что шаг 2 уже сделан. Прибавь 18 к обеим частям, получится −6x = 42. Раздели на −6, получится x = −7. Проверка: −6 × (−7 + 3) = −6 × (−4) = 24. Самая частая ошибка здесь: умножить −6 на x, но не на 3, или потерять знак. Если помогает, распиши умножение: −6 · x + (−6) · 3.

Три вида уравнений

Большинство уравнений верны при одном значении и ложны при всех остальных, как 7x + 8 = −13, которое верно только при x = −3. OpenStax называет их условными уравнениями. Теперь попробуй 2y + 6 = 2(y + 3). Раскрой скобки справа: 2y + 6 = 2y + 6. Вычти 2y из обеих частей, и останется 6 = 6. Переменная исчезла, а оставшееся утверждение верно. Значит, подходит любое значение y, и такое уравнение называют тождеством. Его корни составляют все действительные числа.

Третий вид устроен наоборот. Реши 5z = 5z − 1, вычтя 5z из обеих частей, и получишь 0 = −1. Переменная снова исчезла, но теперь оставшееся утверждение ложно, и никакое значение z не сделает его верным. Такое уравнение называют противоречием, и корней у него нет. Поэтому, если переменная исчезла по ходу решения, посмотри, что осталось: верное утверждение означает любое число, ложное означает ни одного числа. Ни в том, ни в другом случае не пиши x = 0.

Графическая лаборатория показывает, почему так. Для ax + b = cx + d обе части являются прямыми с угловыми коэффициентами a и c. Если a и c различаются, прямые пересекаются один раз: условное уравнение. Если a равно c и b равно d, это одна и та же прямая, нарисованная поверх себя: тождество. Если a равно c, но b отличается от d, прямые параллельны и никогда не встречаются: противоречие. Поставь a = 2, b = 6, c = 2, d = 6 и посмотри, как оранжевая прямая закроет синюю.