Решение сложением и вычитанием

Убери 5 с обеих чаш уравновешенных весов, и равновесие сохранится. Одно это правило превращает x + 5 = 12 в x = 7.

Уравнение как весы

Представь чашечные весы: слева закрытая коробка и пять единичных гирь, справа двенадцать единичных гирь. Чаши в равновесии, значит, их содержимое весит одинаково. Это уравнение x + 5 = 12, где x обозначает вес коробки. Открыть коробку нельзя, но гири снимать можно. Если снять пять гирь с левой чаши, нужно снять пять и с правой, иначе весы перевесят. После этого слева останется одна коробка, справа семь гирь, и весы по-прежнему в равновесии. Значит, x = 7.

Картинка с весами выражает свойство равенства при вычитании. Словами: если две величины равны и из обеих вычесть одно и то же число, результаты останутся равными. В символах: если a = b, то a − c = b − c. Свойство равенства при сложении работает так же в обратную сторону: если a = b, то a + c = b + c. OpenStax решает с помощью этих двух свойств любое уравнение в один шаг вида x + a = b или x − a = b. Цель всегда одна: оставить переменную в одиночестве в одной части.

Отмени то, что сделали с переменной

Чтобы выбрать свойство, посмотри, что сделали с переменной, и сделай обратное. В y + 37 = −13 к y прибавили 37, поэтому вычти 37 из обеих частей: y = −13 − 37 = −50. В a − 28 = 64 из a вычли 28, поэтому прибавь 28 к обеим частям: a = 64 + 28 = 92. Сложение и вычитание отменяют друг друга, поэтому их называют обратными действиями. Отрицательные числа подчиняются тому же правилу. В x + (−4) = 9 слагаемое −4 отменяется прибавлением 4, и получается x = 13.

Переменная не обязана стоять слева. В 15 = n + 6 вычти 6 из обеих частей и получишь 9 = n, а это то же самое, что n = 9. Равенство читается в обе стороны, так что в конце можно поменять части местами, если тебе удобнее переменная слева. Иногда часть сначала нужно упростить. В x − 3 + 5 = 10 сложи −3 + 5 в +2, уравнение примет вид x + 2 = 10, и x = 8. Упрости каждую часть насколько можно, а затем закончи одним свойством.

Проверяй каждый ответ в исходном уравнении. Для y + 37 = −13 подставь −50: −50 + 37 = −13, совпадает. Проверка занимает несколько секунд и ловит самую частую ошибку: сложение там, где нужно вычитание. В графической лаборатории ниже левая часть x + 5 изображена синей прямой, правая часть 12 оранжевой. Они встречаются над x = 7. Поменяй d на 20, и корень сдвинется к 15.