Решение умножением и делением

Если 4 одинаковые тетради стоят 12 долларов, одна стоит 12 ÷ 4 = 3. Это уравнение 4n = 12, и его решают делением обеих частей на 4.

Когда переменную умножили

В прошлом уроке к переменной прибавляли число или вычитали его. Здесь переменную умножают на число. В 4n = 12 n умножили на 4. Вычитание 4 не поможет, потому что отдельно стоящего числа 4, которое можно убрать, нет. Действие, обратное умножению на 4, есть деление на 4, поэтому раздели обе части на 4: 4n ÷ 4 = 12 ÷ 4, и остаётся n = 3. Это свойство равенства при делении: если a = b и c не равно нулю, то a ÷ c = b ÷ c. На весах это значит разделить содержимое обеих чаш на четыре равные группы и оставить по одной группе с каждой стороны.

Почему c не может быть нулём? Деление на ноль не имеет смысла, поэтому свойство работает только с ненулевым делителем. Та же осторожность нужна и для следующего свойства. Свойство равенства при умножении гласит: если a = b, то a × c = b × c. Оно отменяет деление. В x ÷ 5 = 6, что также записывают как x/5 = 6, умножь обе части на 5 и получишь x = 30. Проверь: 30 ÷ 5 = 6. Умножение обеих частей на ноль сделало бы верным любое уравнение, 0 = 0, и ничего бы не сказало, поэтому здесь ноль тоже не используют.

Отрицательные и дробные коэффициенты

Со знаками нужна аккуратность. В −7y = 42 коэффициент равен −7, поэтому раздели обе части на −7: y = 42 ÷ (−7) = −6. Быстрая проверка: −7 × (−6) = 42. Особый случай: −x = 5. Здесь коэффициент равен −1, хотя 1 не записана. Раздели обе части на −1 или умножь на −1 и получишь x = −5. Многие ошибки возникают из-за деления на 7 вместо −7, отчего знак ответа меняется. Читай коэффициент вместе со знаком, прежде чем делить, и этой ошибки не будет.

Если коэффициент дробный, быстрее умножить на обратное число, чем делить. В (2/3)x = 18 число, обратное 2/3, равно 3/2, и 3/2 × 2/3 = 1. Умножь обе части на 3/2: x = 18 × 3/2 = 27. Проверка: две трети от 27 равны 18. Можно действовать и в два шага: умножить на 3, получить 2x = 54, а потом разделить на 2. Получится те же 27. Обратное число делает оба шага сразу.

В графической лаборатории ниже синяя прямая y = 3x изображает левую часть уравнения 3x = 12, а оранжевая прямая y = 12 правую. Они встречаются над x = 4. Сделай коэффициент отрицательным, и синяя прямая наклонится в другую сторону, а точка пересечения уйдёт левее нуля. Поставь a = 0, и синяя прямая ляжет горизонтально; если d тоже не равно 0, она никогда не встретит оранжевую. Это совпадает с правилом, что делить на ноль нельзя.