Risolvere moltiplicando o dividendo

Se 4 quaderni uguali costano 12 dollari, uno costa 12 ÷ 4 = 3. È l'equazione 4n = 12, risolta dividendo entrambi i membri per 4.

Quando la variabile è moltiplicata

Nell'unità precedente alla variabile si aggiungeva o si toglieva un numero. Qui la variabile è moltiplicata per un numero. In 4n = 12, n è stata moltiplicata per 4. Sottrarre 4 non servirebbe, perché non c'è nessun 4 da solo da togliere. L'opposto di moltiplicare per 4 è dividere per 4, quindi dividi entrambi i membri per 4: 4n ÷ 4 = 12 ÷ 4, e resta n = 3. È il principio di equivalenza della divisione: se a = b e c non è zero, allora a ÷ c = b ÷ c. Sulla bilancia vuol dire dividere entrambi i piatti in quattro gruppi uguali e tenere un gruppo per lato.

Perché c non deve essere zero? La divisione per zero non ha significato, quindi il principio funziona solo con un divisore diverso da zero. La stessa cautela vale per il principio successivo. Il principio di equivalenza della moltiplicazione dice che se a = b, allora a × c = b × c. Annulla la divisione. In x ÷ 5 = 6, che si scrive anche x/5 = 6, moltiplica entrambi i membri per 5 e ottieni x = 30. Verifica: 30 ÷ 5 = 6. Moltiplicare entrambi i membri per zero renderebbe vera qualsiasi equazione, 0 = 0, senza dirti nulla, quindi anche qui lo zero non si usa mai.

Coefficienti negativi e frazionari

I segni richiedono attenzione. In −7y = 42 il coefficiente è −7, quindi dividi entrambi i membri per −7: y = 42 ÷ (−7) = −6. Una verifica veloce: −7 × (−6) = 42. Un caso particolare è −x = 5. Lì il coefficiente è −1, anche se l'1 non è scritto. Dividi entrambi i membri per −1, o moltiplica per −1, e ottieni x = −5. Molti errori nascono dal dividere per 7 invece che per −7, il che cambia il segno della risposta. Leggere il coefficiente con il suo segno prima di dividere evita il problema.

Quando il coefficiente è una frazione, moltiplicare per il suo reciproco è più rapido che dividere. In (2/3)x = 18 il reciproco di 2/3 è 3/2, e 3/2 × 2/3 = 1. Moltiplica entrambi i membri per 3/2: x = 18 × 3/2 = 27. Verifica: i due terzi di 27 sono 18. Puoi anche ragionare in due passi, moltiplicando per 3 per avere 2x = 54 e poi dividendo per 2: arrivi allo stesso 27. Il reciproco fa le due mosse in una volta.

Nel laboratorio grafico qui sotto la retta blu è y = 3x, il primo membro di 3x = 12, e la retta arancione è y = 12. Si incontrano sopra x = 4. Rendi negativo il coefficiente e la retta blu si inclina dall'altra parte, così il punto d'incontro passa a sinistra dello zero. Porta a a 0 e la retta blu diventa orizzontale; a meno che anche d sia 0, non incontra mai la retta arancione, proprio come dice la regola che non si può dividere per zero.