Lösen durch Multiplizieren oder Dividieren

Wenn 4 gleiche Hefte 12 Dollar kosten, kostet eines 12 ÷ 4 = 3. Das ist die Gleichung 4n = 12, gelöst, indem man beide Seiten durch 4 dividiert.

Wenn die Variable multipliziert wird

In der letzten Einheit wurde zur Variablen eine Zahl addiert oder von ihr abgezogen. Hier wird die Variable mit einer Zahl multipliziert. In 4n = 12 wurde n mit 4 multipliziert. Subtrahieren von 4 würde nicht helfen, weil keine 4 allein dasteht, die man wegnehmen könnte. Das Gegenteil von „mal 4“ ist „durch 4“, also dividiere beide Seiten durch 4: 4n ÷ 4 = 12 ÷ 4, und es bleibt n = 3. Das ist die Divisionsregel der Gleichheit: Wenn a = b und c nicht null ist, dann a ÷ c = b ÷ c. Auf der Waage heißt das, beide Schalen in vier gleiche Gruppen zu teilen und von jeder Seite eine Gruppe zu behalten.

Warum darf c nicht null sein? Division durch null hat keine Bedeutung, deshalb gilt die Regel nur mit einem Divisor ungleich null. Dieselbe Vorsicht gilt für die nächste Regel. Die Multiplikationsregel der Gleichheit besagt: Wenn a = b, dann a × c = b × c. Sie macht eine Division rückgängig. Bei x ÷ 5 = 6, auch x/5 = 6 geschrieben, multiplizierst du beide Seiten mit 5 und erhältst x = 30. Probe: 30 ÷ 5 = 6. Würde man beide Seiten mit null multiplizieren, wäre jede Gleichung wahr, 0 = 0, und man erführe nichts, deshalb verwenden wir auch hier nie null.

Negative Koeffizienten und Brüche als Koeffizienten

Vorzeichen brauchen Sorgfalt. Bei −7y = 42 ist der Koeffizient −7, also dividierst du beide Seiten durch −7: y = 42 ÷ (−7) = −6. Eine schnelle Probe: −7 × (−6) = 42. Ein Sonderfall ist −x = 5. Der Koeffizient ist dort −1, auch wenn keine 1 dasteht. Dividiere beide Seiten durch −1 oder multipliziere mit −1, und du erhältst x = −5. Viele Fehler entstehen, weil man durch 7 statt durch −7 dividiert, wodurch das Vorzeichen der Antwort umkippt. Wenn du den Koeffizienten vor dem Dividieren mit seinem Vorzeichen liest, passiert das nicht.

Ist der Koeffizient ein Bruch, geht das Multiplizieren mit seinem Kehrwert schneller als das Dividieren. Bei (2/3)x = 18 ist der Kehrwert von 2/3 gleich 3/2, und 3/2 × 2/3 = 1. Multipliziere beide Seiten mit 3/2: x = 18 × 3/2 = 27. Probe: Zwei Drittel von 27 sind 18. Du könntest auch in zwei Schritten denken, erst mit 3 multiplizieren, um 2x = 54 zu erhalten, und dann durch 2 dividieren, und du landest bei denselben 27. Der Kehrwert erledigt beide Schritte auf einmal.

Im Graphen-Labor unten ist die blaue Gerade y = 3x, die linke Seite von 3x = 12, und die orange Gerade ist y = 12. Sie treffen sich über x = 4. Mach den Koeffizienten negativ, dann kippt die blaue Gerade in die andere Richtung, und der Schnittpunkt wandert links von null. Setz a auf 0, dann liegt die blaue Gerade waagerecht; außer wenn d ebenfalls 0 ist, trifft sie die orange Gerade nie, und das passt zur Regel, dass man nicht durch null dividieren darf.