Gleichungen mit zwei Schritten

Um 3x + 5 = 20 zu lösen, machst du zuerst das + 5 rückgängig und dann das × 3: 3x = 15, dann x = 5.

Zwei Rechenschritte, in umgekehrter Reihenfolge rückgängig gemacht

Die meisten Gleichungen brauchen mehr als einen Schritt. Bei 3x + 5 = 20 ist mit x zweierlei passiert: Es wurde mit 3 multipliziert, und dann wurde 5 addiert. Um x zurückzubekommen, machst du beides in umgekehrter Reihenfolge rückgängig, so wie du erst die Schuhe und dann die Socken ausziehst. Subtrahiere zuerst 5 auf beiden Seiten, das ergibt 3x = 15. Dann dividiere beide Seiten durch 3, das ergibt x = 5. Probe in der ursprünglichen Gleichung: 3 × 5 + 5 = 20, und die rechte Seite ist 20, die Antwort passt also.

Warum zuerst die Addition rückgängig machen? Du könntest sofort alles durch 3 dividieren, aber dann erhieltest du x + 5/3 = 20/3, das ist richtig, aber unübersichtlicher. Entfernst du zuerst die Konstante, bleibt ein einziger Term mit der Variablen, und eine Division erledigt den Rest. Dieselbe Reihenfolge funktioniert bei jeder Gleichung der Form ax + b = c: b subtrahieren, dann durch a dividieren. In Zeichen lautet die Antwort x = (c − b) ÷ a, aber in der Praxis ist es einfacher, die beiden Schritte zu machen, als sich die Formel zu merken.

Vorzeichen und Textaufgaben

Negative Zahlen ändern nicht die Reihenfolge, nur das Rechnen. Bei −4y − 7 = 9 addierst du 7 auf beiden Seiten und erhältst −4y = 16, dann dividierst du durch −4 und erhältst y = −4. Probe: −4 × (−4) − 7 = 16 − 7 = 9. Steht die Konstante vorn, wie bei 12 − 2x = 4, hilft es, die Gleichung als 12 + (−2)x = 4 zu lesen. Subtrahiere 12 und du erhältst −2x = −8, dann dividiere durch −2 und du erhältst x = 4. Wenn du das Vorzeichen zusammen mit seiner Zahl schreibst, bleiben die Schritte sauber.

Gleichungen mit zwei Schritten tauchen immer dann auf, wenn es einen festen Betrag plus einen Preis pro Einheit gibt. Hier ein ausgedachtes Beispiel. Ein Fahrradverleih kostet 5 Dollar Grundgebühr plus 3 Dollar pro Stunde, und du hast 20 Dollar bezahlt. Ist h die Zahl der Stunden, betragen die Kosten 3h + 5, also 3h + 5 = 20 und h = 5 Stunden. Der feste Betrag ist die Konstante, die du zuerst entfernst, und der Preis pro Stunde ist der Koeffizient, durch den du zuletzt dividierst. Stell die Gleichung aus dem Text auf, bevor du rechnest, und sag in eigenen Worten, wofür die Variable steht.

Im Graphen-Labor ist die blaue Gerade y = 3x + 5 und die orange Gerade y = 20. Beweg b, und die blaue Gerade verschiebt sich nach oben oder unten, ohne ihre Neigung zu ändern; beweg a, und sie kippt um den Punkt (0, b). So oder so ist der Schnittpunkt die Lösung der Gleichung mit zwei Schritten. Unter dem Labor sind die Schritte ausgeschrieben, damit du üben kannst, sie der Reihe nach aufzusagen.