Gleichungen und Lösungen

Bei 2x + 1 = 7 macht nur eine Zahl beide Seiten gleich: 3, denn 2 × 3 + 1 = 7.

Was eine Gleichung ausmacht

Eine Gleichung ist eine Aussage, dass zwei Terme denselben Wert haben. Das Zeichen dazwischen, =, ist die Behauptung. Schreibst du 2x + 1 = 7, sagst du: Egal für welche Zahl x steht, wenn man sie verdoppelt und 1 addiert, ergibt sich 7. Manche Zahlen machen diese Behauptung wahr, andere falsch. Eine Zahl, die sie wahr macht, heißt Lösung der Gleichung, und Lösen bedeutet, alle solchen Zahlen zu finden. OpenStax vergleicht das Lösen einer Gleichung mit einem Rätsel: Die Lösung ist die Antwort, und das Rätsel ist erst fertig, wenn du geprüft hast, dass die Antwort passt.

Die Buchstaben in einer Gleichung heißen Variablen. Sie halten den Platz für eine Zahl frei, die wir noch nicht kennen. Eine Zahl, mit der eine Variable multipliziert wird, ist ihr Koeffizient: In 2x + 1 = 7 ist der Koeffizient von x gleich 2. Eine Zahl, die allein steht, wie die 1 und die 7, ist eine Konstante. In diesem Kurs ist jede Gleichung linear, das heißt, die Variable kommt nur in der ersten Potenz vor. Es gibt kein x², kein x unter einer Wurzel und kein x im Nenner. Eine lineare Gleichung mit einer Variablen hat meist genau eine Lösung, und die nächsten Einheiten bauen eine kurze Liste von Schritten auf, die sie jedes Mal findet.

Eine Lösung durch Einsetzen prüfen

Du musst nicht wissen, wie man eine Gleichung löst, um eine mögliche Antwort zu testen. Ersetze die Variable durch die Zahl, rechne jede Seite getrennt aus und vergleiche. Bei 2x + 1 = 7 und x = 3 wird die linke Seite zu 2 × 3 + 1 = 7, und die rechte Seite ist 7. Die Aussage ist also wahr, und 3 ist eine Lösung. Probier stattdessen x = 4: Die linke Seite wird 9, das ist nicht 7, also ist 4 keine Lösung. Halte die beiden Seiten beim Rechnen getrennt. Eine lange Kette wie 2 × 3 + 1 = 7 = 7 versteckt Fehler, während du genau siehst, wo sie übereinstimmen oder sich unterscheiden, wenn du jede Seite in eine eigene Zeile schreibst.

Das Graphen-Labor unten zeichnet jede Seite einer Gleichung als Gerade. Die blaue Gerade ist y = 2x + 1, die linke Seite, und die orange Gerade ist y = 7, die rechte Seite. Sie schneiden sich dort, wo beide Seiten denselben Wert haben, und das x dieses Schnittpunkts ist die Lösung. Beweg die Regler für a, b, c und d, und der Schnittpunkt wandert mit. Dieses Bild kommt in der Einheit über Variablen auf beiden Seiten wieder und noch einmal im Kurs über Graphen, wo das Treffen zweier Geraden die ganze Idee eines Gleichungssystems ist.