Ein allgemeines Vorgehen und Gleichungen ohne Lösung oder mit allen Zahlen als Lösung

Löse 2y + 6 = 2(y + 3), und das y verschwindet, übrig bleibt 6 = 6. Jede Zahl ist eine Lösung.

Fünf Schritte, die bei jeder linearen Gleichung funktionieren

Inzwischen hast du jedes Werkzeug, das du für lineare Gleichungen mit einer Variablen brauchst. OpenStax fasst sie zu einem allgemeinen Vorgehen zusammen. Schritt 1: Vereinfache jede Seite so weit wie möglich, löse Klammern mit dem Distributivgesetz auf und fasse gleichartige Terme zusammen. Schritt 2: Sammle alle Variablenterme auf einer Seite. Schritt 3: Sammle alle Konstanten auf der anderen Seite. Schritt 4: Mach den Koeffizienten der Variablen zu 1, indem du dividierst oder multiplizierst. Schritt 5: Prüfe die Lösung in der ursprünglichen Gleichung. Nicht jede Gleichung braucht jeden Schritt, aber wenn du sie der Reihe nach durchgehst, behältst du auch lange Aufgaben im Griff.

Ein Beispiel aus dem Lehrbuch: −6(x + 3) = 24. Multipliziere die −6 mit beiden Termen in der Klammer, das ergibt −6x − 18 = 24. Es gibt nur einen Variablenterm, also ist Schritt 2 erledigt. Addiere 18 auf beiden Seiten und du erhältst −6x = 42. Dividiere durch −6 und du erhältst x = −7. Probe: −6 × (−7 + 3) = −6 × (−4) = 24. Der häufigste Fehler hier ist, die −6 zwar mit dem x, aber nicht mit der 3 zu multiplizieren oder ihr Vorzeichen zu vergessen. Schreib die Multiplikation aus, −6 · x + (−6) · 3, wenn es hilft.

Drei Arten von Gleichungen

Die meisten Gleichungen sind für einen Wert wahr und für alle anderen falsch, etwa 7x + 8 = −13, die nur für x = −3 wahr ist. OpenStax nennt sie bedingte Gleichungen. Probier jetzt 2y + 6 = 2(y + 3). Multipliziere rechts aus: 2y + 6 = 2y + 6. Subtrahiere 2y auf beiden Seiten, und übrig bleibt 6 = 6. Die Variable ist verschwunden, und die übrige Aussage ist wahr. Das heißt, jeder Wert von y funktioniert, und die Gleichung heißt allgemeingültig. Ihre Lösung sind alle reellen Zahlen.

Die dritte Art geht in die andere Richtung. Löse 5z = 5z − 1, indem du auf beiden Seiten 5z subtrahierst, und du erhältst 0 = −1. Die Variable ist wieder weg, aber diesmal ist die übrige Aussage falsch, und kein Wert von z kann sie wahr machen. Eine solche Gleichung ist ein Widerspruch und hat keine Lösung. Wenn die Variable also beim Lösen verschwindet, schau dir an, was übrig bleibt: Eine wahre Aussage bedeutet jede Zahl, eine falsche keine Zahl. Schreib in keinem der beiden Fälle x = 0.

Das Graphen-Labor zeigt, warum. Bei ax + b = cx + d sind die beiden Seiten Geraden mit den Steigungen a und c. Sind a und c verschieden, schneiden sich die Geraden einmal: eine bedingte Gleichung. Ist a gleich c und b gleich d, sind die Geraden dieselbe Gerade, übereinander gezeichnet: allgemeingültig. Ist a gleich c, aber b verschieden von d, sind die Geraden parallel und treffen sich nie: ein Widerspruch. Setz a = 2, b = 6, c = 2, d = 6 und sieh zu, wie die orange Gerade die blaue verdeckt.