Gleichungen mit Brüchen und Dezimalzahlen

Multipliziere x/3 + 1/2 = 5/6 mit 6, dem Hauptnenner, und es wird 2x + 3 = 5, ganz ohne Brüche.

Zuerst die Brüche beseitigen

Eine Gleichung voller Brüche lässt sich mit den bekannten Schritten lösen, aber dann braucht jede Addition einen gemeinsamen Nenner, und die Rechnerei türmt sich auf. Sauberer ist es, die Brüche gleich am Anfang loszuwerden. Bestimme den Hauptnenner (das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner) der Gleichung und multipliziere beide Seiten damit. Nach der Multiplikationsregel der Gleichheit bleiben die Seiten dabei gleich, und jeder Nenner geht genau im Hauptnenner auf, sodass aus jedem Bruch eine ganze Zahl wird.

Nimm x/3 + 1/2 = 5/6. Die Nenner sind 3, 2 und 6, der Hauptnenner ist 6. Multipliziere jeden Term auf beiden Seiten mit 6: 6 × x/3 = 2x, 6 × 1/2 = 3 und 6 × 5/6 = 5. Die Gleichung wird zu 2x + 3 = 5. Subtrahiere 3 und du erhältst 2x = 2, dividiere durch 2 und du erhältst x = 1. Probe in der ursprünglichen Gleichung: 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6. Entscheidend ist, jeden Term zu multiplizieren, auch die, die schon ganze Zahlen sind. Einen Term zu vergessen ist der übliche Fehler.

Noch eins: (3/4)x − 2 = 7. Der einzige Nenner ist 4, also multiplizierst du beide Seiten mit 4: 3x − 8 = 28. Beachte, dass aus der 2 eine 8 und aus der 7 eine 28 wurde, weil sie mitmultipliziert wurden. Addiere 8 und du erhältst 3x = 36, dividiere durch 3 und du erhältst x = 12. Probe: Drei Viertel von 12 sind 9, und 9 − 2 = 7. Steht ein Bruch vor einer Klammer, wie bei (1/2)(x + 4) = 5, kannst du entweder zuerst ausmultiplizieren oder gleich beide Seiten mit 2 multiplizieren, das ergibt x + 4 = 10 und x = 6.

Dezimalzahlen: mit 10, 100 oder 1000 multiplizieren

Eine Dezimalzahl ist ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist, also funktioniert dieselbe Idee. Such die Dezimalzahl mit den meisten Nachkommastellen und multipliziere beide Seiten mit 10 bei einer Stelle, mit 100 bei zwei, mit 1000 bei drei. Bei 0.4x + 1.2 = 3.6 hat jede Dezimalzahl eine Nachkommastelle, also multiplizierst du mit 10: 4x + 12 = 36. Dann ist 4x = 24 und x = 6. Bei 0.25n + 0.5 = 2 hat 0.25 zwei Stellen, also multiplizierst du mit 100: 25n + 50 = 200, 25n = 150, n = 6. Geldaufgaben sehen oft so aus, weil Cent Hundertstel eines Dollars sind.