Equazioni e soluzioni

In 2x + 1 = 7 un solo numero rende uguali i due membri: 3, perché 2 × 3 + 1 = 7.

Che cosa rende qualcosa un'equazione

Un'equazione è un'affermazione: due espressioni hanno lo stesso valore. Il segno tra loro, =, è l'affermazione stessa. Se scrivi 2x + 1 = 7 stai dicendo che, qualunque numero rappresenti x, il suo doppio più 1 dà 7. Alcuni numeri rendono vera l'affermazione, altri la rendono falsa. Un numero che la rende vera si chiama soluzione dell'equazione, e risolvere significa trovare tutti questi numeri. OpenStax paragona la risoluzione di un'equazione a un rompicapo: la soluzione è la risposta, e il rompicapo non è finito finché non controlli che la risposta funzioni.

Le lettere di un'equazione si chiamano variabili, o incognite. Tengono il posto di un numero che ancora non conosciamo. Il numero che moltiplica una variabile è il suo coefficiente: in 2x + 1 = 7 il coefficiente di x è 2. Un numero da solo, come 1 e 7, è un termine noto. In questo corso ogni equazione è lineare, cioè di primo grado: la variabile compare solo alla prima potenza. Niente x², niente x sotto radice, niente x al denominatore. Un'equazione lineare in una variabile di solito ha esattamente una soluzione, e le prossime unità costruiscono una breve lista di mosse che la trova ogni volta.

Verificare una soluzione per sostituzione

Per provare una possibile risposta non serve saper risolvere l'equazione. Sostituisci la variabile con il numero, calcola ciascun membro separatamente e confronta. Per 2x + 1 = 7 e x = 3, il primo membro diventa 2 × 3 + 1 = 7 e il secondo membro è 7: l'affermazione è vera e 3 è una soluzione. Prova invece x = 4: il primo membro diventa 9, che non è 7, quindi 4 non è una soluzione. Tieni separati i due membri mentre lavori. Una catena lunga come 2 × 3 + 1 = 7 = 7 nasconde gli errori, mentre scrivere ogni membro su una riga sua mostra esattamente dove coincidono o differiscono.

Il laboratorio grafico qui sotto disegna ogni membro di un'equazione come una retta. La retta blu è y = 2x + 1, il primo membro, e quella arancione è y = 7, il secondo membro. Si incontrano dove i due membri hanno lo stesso valore, e la x di quel punto è la soluzione. Muovi i cursori di a, b, c e d e il punto d'incontro si sposta con loro. Questa immagine torna nell'unità sulle variabili in entrambi i membri, e poi nel corso sui grafici, dove due rette che si incontrano sono tutta l'idea di un sistema di equazioni.