Resolver multiplicando o dividiendo

Si 4 cuadernos iguales cuestan 12 dólares, uno cuesta 12 ÷ 4 = 3. Esa es la ecuación 4n = 12, que se resuelve dividiendo los dos lados entre 4.

Cuando la variable está multiplicada

En la unidad anterior, a la variable se le sumaba o se le restaba un número. Aquí la variable está multiplicada por un número. En 4n = 12, n se ha multiplicado por 4. Restar 4 no serviría, porque no hay ningún 4 suelto que quitar. Lo contrario de multiplicar por 4 es dividir entre 4, así que divide los dos lados entre 4: 4n ÷ 4 = 12 ÷ 4, lo que deja n = 3. Esta es la propiedad de igualdad de la división: si a = b y c no es cero, entonces a ÷ c = b ÷ c. En la balanza, significa repartir cada platillo en cuatro grupos iguales y quedarse con un grupo de cada lado.

¿Por qué c no puede ser cero? Dividir entre cero no tiene sentido, así que la propiedad solo funciona con un divisor distinto de cero. La misma precaución vale para la siguiente propiedad. La propiedad de igualdad de la multiplicación dice que si a = b, entonces a × c = b × c. Deshace la división. En x ÷ 5 = 6, que también se escribe x/5 = 6, multiplica los dos lados por 5 para obtener x = 30. Compruébalo: 30 ÷ 5 = 6. Multiplicar los dos lados por cero haría verdadera cualquier ecuación, 0 = 0, y no te diría nada, así que aquí tampoco usamos nunca el cero.

Coeficientes negativos y fraccionarios

Los signos piden cuidado. En −7y = 42, el coeficiente es −7, así que divide los dos lados entre −7: y = 42 ÷ (−7) = −6. Una comprobación rápida: −7 × (−6) = 42. Un caso especial es −x = 5. Ahí el coeficiente es −1, aunque no se escriba ningún 1. Divide los dos lados entre −1, o multiplícalos por −1, y obtienes x = −5. Muchos errores vienen de dividir entre 7 en vez de entre −7, lo que cambia el signo de la respuesta. Leer el coeficiente con su signo antes de dividir lo evita.

Cuando el coeficiente es una fracción, multiplicar por su inverso es más rápido que dividir. En (2/3)x = 18, el inverso de 2/3 es 3/2, y 3/2 × 2/3 = 1. Multiplica los dos lados por 3/2: x = 18 × 3/2 = 27. Comprobación: dos tercios de 27 son 18. También puedes pensarlo en dos pasos, multiplicando por 3 para obtener 2x = 54 y luego dividiendo entre 2, y llegas al mismo 27. El inverso hace los dos pasos a la vez.

En el laboratorio de gráficas de abajo, la recta azul es y = 3x, el lado izquierdo de 3x = 12, y la naranja es y = 12. Se cortan encima de x = 4. Haz negativo el coeficiente y la recta azul se inclina hacia el otro lado, así que el punto de corte pasa a la izquierda del cero. Pon a en 0 y la recta azul queda horizontal; salvo que d también sea 0, nunca corta a la naranja, lo que coincide con la regla de que no se puede dividir entre cero.