Oplossen door vermenigvuldigen of delen

Als 4 identieke schriften 12 dollar kosten, kost één schrift 12 ÷ 4 = 3. Dat is de vergelijking 4n = 12, opgelost door beide leden door 4 te delen.

Als de variabele wordt vermenigvuldigd

In het vorige hoofdstuk werd er een getal bij de variabele opgeteld of ervan afgetrokken. Hier wordt de variabele met een getal vermenigvuldigd. In 4n = 12 is n vermenigvuldigd met 4. Aftrekken van 4 helpt niet, want er staat geen losse 4 om weg te halen. Het tegenovergestelde van vermenigvuldigen met 4 is delen door 4, dus deel beide leden door 4: 4n ÷ 4 = 12 ÷ 4, waarna n = 3 overblijft. Dit is de deeleigenschap van gelijkheid: als a = b en c niet nul is, dan a ÷ c = b ÷ c. Op de balans betekent dit dat je beide schalen in vier gelijke groepen verdeelt en aan elke kant één groep behoudt.

Waarom mag c niet nul zijn? Delen door nul heeft geen betekenis, dus de eigenschap werkt alleen met een deler die niet nul is. Dezelfde voorzichtigheid geldt voor de volgende eigenschap. De vermenigvuldigingseigenschap van gelijkheid zegt dat als a = b, dan a × c = b × c. Daarmee maak je delen ongedaan. In x ÷ 5 = 6, ook geschreven als x/5 = 6, vermenigvuldig je beide leden met 5 om x = 30 te krijgen. Controleer: 30 ÷ 5 = 6. Beide leden met nul vermenigvuldigen zou elke vergelijking waar maken, 0 = 0, en je niets vertellen, dus ook hier gebruiken we nooit nul.

Negatieve coëfficiënten en breukcoëfficiënten

Tekens vragen aandacht. In −7y = 42 is de coëfficiënt −7, dus deel beide leden door −7: y = 42 ÷ (−7) = −6. Een snelle controle: −7 × (−6) = 42. Een bijzonder geval is −x = 5. De coëfficiënt is daar −1, hoewel er geen 1 staat. Deel beide leden door −1 of vermenigvuldig ze met −1 en je krijgt x = −5. Veel fouten ontstaan door delen door 7 in plaats van −7, wat het teken van het antwoord omkeert. Lees de coëfficiënt met zijn teken voordat je deelt om dat te voorkomen.

Als de coëfficiënt een breuk is, is vermenigvuldigen met het omgekeerde sneller dan delen. In (2/3)x = 18 is het omgekeerde van 2/3 gelijk aan 3/2, en 3/2 × 2/3 = 1. Vermenigvuldig beide leden met 3/2: x = 18 × 3/2 = 27. Controleer: twee derde van 27 is 18. Je kunt het ook in twee stappen bekijken: vermenigvuldig met 3 om 2x = 54 te krijgen en deel dan door 2. Je komt op dezelfde 27 uit. Met het omgekeerde voer je beide bewerkingen tegelijk uit.

In het grafieklab hieronder is de blauwe lijn y = 3x, het linkerlid van 3x = 12, en de oranje lijn y = 12. Ze ontmoeten elkaar boven x = 4. Maak de coëfficiënt negatief en de blauwe lijn helt de andere kant op, zodat het snijpunt links van nul komt te liggen. Stel a in op 0 en de blauwe lijn ligt horizontaal. Tenzij d ook 0 is, ontmoet hij de oranje lijn nooit, wat overeenkomt met de regel dat je niet door nul kunt delen.