En, of, niet

Op een menukaart betekent ‘soep of salade’ meestal een van beide. In de logica blijft ‘p of q’ waar als beide waar zijn. Met die ene regel los je de meeste meningsverschillen over het woord of op.

En: beide delen moeten gelden

Neem twee uitspraken: p: ‘De winkel verkoopt brood’ en q: ‘De winkel verkoopt melk’. De conjunctie p ∧ q, gelezen als ‘p en q’, beweert beide tegelijk. Die is maar in één situatie waar: als p en q allebei waar zijn. Heeft de winkel brood maar geen melk, dan is ‘De winkel verkoopt brood en melk’ onwaar, want de helft van wat wordt beweerd klopt niet. Bij twee uitspraken zijn er vier mogelijke situaties (TT, TF, FT, FF). Een conjunctie is in precies één daarvan waar.

In het Engels en Koreaans zijn er veel woorden die logisch hetzelfde doen als en. ‘De flat is klein maar licht’ beweert dat de flat klein is én dat er veel licht is. Het woord maar geeft een tegenstelling aan. In forall x wordt het daarom als conjunctie behandeld. Hoewel, toch, ook en terwijl (in de betekenis van daarentegen) werken meestal net zo. In de logica behoud je de waarheidsvoorwaarden en laat je de toon buiten beschouwing.

Of: minstens één deel geldt

De disjunctie p ∨ q, gelezen als ‘p of q’, is waar als minstens één van p en q waar is. Die is alleen onwaar als beide onwaar zijn. Dit heet de inclusieve of, en het teken ∨ heeft altijd die betekenis. Stel dat in een vacature staat: ‘Sollicitanten moeten Japans of Chinees spreken’. Iemand die beide spreekt, wordt natuurlijk niet afgewezen. Dat is de inclusieve lezing.

Soms bedoelen we wel ‘het ene of het andere, maar niet beide’. Bij een lunchmenu met ‘koffie of thee’ krijg je zelden allebei. Dit is de exclusieve of. In forall x is daarvoor geen apart basisteken. Je bouwt die op met de andere tekens: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), oftewel minstens één en niet beide. Is een zin dubbelzinnig, vraag dan welke lezing de spreker bedoelt. Schrijf de exclusieve versie volledig uit als die bedoeld wordt.

Niet en de wetten van De Morgan

Een negatie keert één waarheidswaarde om. Interessant wordt het als je een hele conjunctie of disjunctie ontkent. ‘Het is niet zo dat de flat goedkoop is en dicht bij het station ligt’ is waar zodra minstens één deel niet klopt: de flat is niet goedkoop, ligt niet dicht bij het station, of allebei. In tekens heeft ¬(p ∧ q) in elke rij dezelfde waarheidswaarde als ¬p ∨ ¬q. Op dezelfde manier betekent ‘Het is niet zo dat je contant of met een betaalkaart kunt betalen’ dat geen van beide kan: ¬(p ∨ q) komt overeen met ¬p ∧ ¬q. Deze twee equivalenties heten de wetten van De Morgan, naar de negentiende-eeuwse logicus Augustus De Morgan.

Een veelgemaakte fout is niet naar binnen verplaatsen zonder het verbindingswoord te verwisselen. ‘Niet (goedkoop en dichtbij)’ betekent niet ‘niet goedkoop en niet dichtbij’. Bij een goedkope flat ver van het station is de eerste zin waar en de tweede onwaar. Verplaats je een niet naar binnen de haakjes, dan wordt en een of, en of een en.

Haakjes zijn hier om dezelfde reden belangrijk als bij rekenen. ¬p ∧ q betekent ‘niet p, en q’, terwijl ¬(p ∧ q) ‘niet beide’ betekent. In de eerste formule heeft niet alleen betrekking op p. Bepaal bij het vertalen van een gewone zin eerst op welke woorden niet betrekking heeft en plaats dan de haakjes.