Implicaties en contrapositie

‘Als het regent, wordt de wedstrijd afgelast’ kan maar op één manier niet kloppen: het regent en de wedstrijd gaat door.

Als p, dan q

Bij een implicatie verbind je twee uitspraken met als ... dan. In p → q, gelezen als ‘als p, dan q’, heet het deel na als het antecedent en het deel na dan het consequent. Zie een implicatie als een belofte. Een ouder zegt: ‘Als je 90 punten haalt op de toets, koop ik een fiets voor je’. Wanneer breekt de ouder die belofte? Alleen als het kind 90 haalt en geen fiets krijgt. Haalt het kind 90 en krijgt het de fiets, dan is de belofte nagekomen. Haalt het kind 80, dan zegt de belofte niets over dat geval. Of er nu een fiets komt of niet, niemand kan zeggen dat de ouder heeft gelogen.

Zo krijg je de waarheidstabel van de implicatie in de logica, vaak de materiële implicatie genoemd: p → q is in precies één rij onwaar, namelijk als p waar is en q onwaar. In de andere drie rijen is die waar. De twee rijen met een onwaar antecedent voelen eerst vreemd. ‘Als de maan van kaas is, dan is 2 + 2 = 4’ komt uit op waar. In de logica accepteer je dit omdat er geen tegengeval is: er is geen situatie waarin het antecedent geldt en het consequent niet. In het dagelijks taalgebruik betekent als soms meer, bijvoorbeeld een oorzaak of een inhoudelijk verband. Bij de materiële implicatie behoud je alleen het controleerbare deel.

Omgekeerde, inverse en contrapositie

Van één implicatie kun je drie verwante uitspraken maken. Begin met ‘Als een dier een walvis is, dan is het een zoogdier’ (p → q). Bij de omgekeerde verwissel je de delen: ‘Als een dier een zoogdier is, dan is het een walvis’ (q → p). Bij de inverse ontken je beide delen: ‘Als een dier geen walvis is, dan is het geen zoogdier’ (¬p → ¬q). Bij contrapositie verwissel én ontken je de delen: ‘Als een dier geen zoogdier is, dan is het geen walvis’ (¬q → ¬p).

Alleen de contrapositie heeft gegarandeerd dezelfde waarheidswaarde als het origineel. Het origineel is waar, en de contrapositie ook: iets dat geen zoogdier is, kan geen walvis zijn. De omgekeerde en de inverse zijn beide onwaar, want een hond is een zoogdier en geen walvis. Merk ook op dat de omgekeerde en de inverse elkaars contrapositie zijn en daarom altijd dezelfde waarheidswaarde hebben. Moet je p → q bewijzen en is een rechtstreeks bewijs lastig, dan is het in de wiskunde gebruikelijk om in plaats daarvan ¬q → ¬p te bewijzen.

Alleen als, tenzij, noodzakelijk en voldoende

In het Engels zitten implicaties ook in andere formuleringen. In forall x staat dat ‘p alleen als q’ wordt weergegeven als p → q, niet als q → p. ‘Je mag alleen instappen als je een ticket hebt’ zegt dat instappen een ticket vereist: instappen → ticket. Het belooft niet dat je met een ticket ook daadwerkelijk kunt instappen. In de implicatie p → q heet p een voldoende voorwaarde voor q, en q een noodzakelijke voorwaarde voor p. Een ticket is noodzakelijk om in te stappen, maar niet voldoende: je hebt ook een paspoort en een zitplaats nodig. ‘q dan en slechts dan als p’ beweert beide richtingen en wordt geschreven als p ↔ q: een bi-implicatie.