Waarheidstabellen

Drie letters geven 2 × 2 × 2 = 8 rijen. In een waarheidstabel schrijf je ze allemaal uit, zodat je geen enkel geval hoeft te raden.

Eén rij voor elke mogelijke situatie

De verbindingswoorden uit de vorige twee hoofdstukken hebben een nuttige eigenschap: zodra je weet of elk enkelvoudig deel waar of onwaar is, ligt de waarheidswaarde van de samengestelde uitspraak vast. In een waarheidstabel maak je daar gebruik van. Je schrijft alle mogelijke combinaties van waarheidswaarden voor de enkelvoudige uitspraken op, één combinatie per rij. Daarna bepaal je per rij de waarde van de samengestelde uitspraak. De betekenis van de zinnen doet er niet toe, alleen de waarden T en F.

Hoeveel rijen? Elke enkelvoudige uitspraak kan T of F zijn, dus bij elke nieuwe letter verdubbelt het aantal. Eén letter geeft 2 rijen, twee letters geven 4, drie geven 8 en n letters geven 2 tot de macht n. Bij vijf letters heb je al 32 rijen. Daarom houden mensen die vaak waarheidstabellen gebruiken hun formules kort. In forall x en de meeste leerboeken schrijf je de rijen als volgt: in de eerste kolom een bovenste helft T en een onderste helft F, in de tweede kolom kwarten, enzovoort. In de laatste kolom wisselen T, F, T, F elkaar af. Met dat patroon sla je geen combinatie over en herhaal je er geen.

Van binnen naar buiten werken

Neem de uitspraak (p ∨ q) ∧ ¬r. Zet na de drie invoerkolommen een kolom voor elk onderdeel, in dezelfde volgorde als waarin je bij rekenen de haakjes uitwerkt: eerst p ∨ q, dan ¬r en ten slotte het hoofdverbindingswoord ∧ dat ze verbindt. In elke rij pas je steeds één eenvoudige regel uit de vorige hoofdstukken toe. De laatste kolom geeft het antwoord. Hier is de hele uitspraak waar in 3 van de 8 rijen: die waarin r onwaar is en minstens één van p en q waar is.

Tautologieën, contradicties en equivalentie

Sommige laatste kolommen bevatten alleen T. De uitspraak p ∨ ¬p (‘het regent of het regent niet’) is in elke rij waar, ongeacht het weer. Zo'n uitspraak heet een tautologie of een logische waarheid. Andere kolommen bevatten alleen F, zoals bij p ∧ ¬p: dat zijn contradicties. De meeste uitspraken zijn in sommige rijen waar en in andere onwaar. Ze heten contingent: of ze waar zijn, hangt af van hoe de wereld is.

Twee uitspraken zijn equivalent als hun laatste kolommen rij voor rij overeenkomen. Zo controleer je de wetten van De Morgan of de bewering dat een implicatie overeenkomt met de contrapositie: maak beide kolommen met dezelfde invoer en vergelijk ze. Je ziet ook dat p → q dezelfde kolom heeft als ¬p ∨ q. Dat is handig als je een implicatie moet herschrijven met alleen niet, en en of.