Geldigheid en deugdelijkheid
‘Alle vissen kunnen vliegen. Een zalm is een vis. Dus een zalm kan vliegen.’ De conclusie is onwaar, maar de redenering is geldig. Voor wat er misgaat heeft de logica een apart woord.
Wat een geldige redenering garandeert
Een redenering bestaat uit premissen die een conclusie moeten ondersteunen. In forall x wordt geldigheid gedefinieerd met tegenvoorbeelden: een tegenvoorbeeld is een geval waarin alle premissen waar zijn en de conclusie onwaar. Een redenering is dan en slechts dan geldig als er geen zo'n geval bestaat. Anders gezegd: bij een geldige redenering kun je niet alle premissen aanvaarden en toch de conclusie verwerpen zonder jezelf tegen te spreken. Over de vraag of de premissen werkelijk waar zijn, wordt niets gegarandeerd.
Daarom is de redenering over de vliegende zalm geldig. Als alle vissen konden vliegen en een zalm een vis was, zou een zalm moeten kunnen vliegen. Er is geen geval waarin beide premissen gelden en de conclusie niet. Het probleem zit in de eerste premisse: die is onwaar. Een geldige redenering met uitsluitend ware premissen heet deugdelijk. Een deugdelijke redenering heeft gegarandeerd een ware conclusie. De zalmredenering is geldig maar ondeugdelijk.
| Conclusie waar | Conclusie onwaar | |
|---|---|---|
| Geldig | mogelijk (deugdelijk als alle premissen waar zijn) | mogelijk, maar dan is een premisse onwaar |
| Ongeldig | mogelijk | mogelijk |
De tabel hierboven laat de ene combinatie zien die bij geldigheid uitgesloten is: geldig, alle premissen waar, conclusie onwaar. Elke andere combinatie is mogelijk. Vooral dit is belangrijk: een ongeldige redenering kan ware premissen én een ware conclusie hebben. ‘Seoul ligt in Korea. Dus water kookt bij 100 °C op zeeniveau’ heeft een ware premisse en een ware conclusie, maar de premisse ondersteunt de conclusie helemaal niet. De redenering is dus ongeldig. Een ware conclusie maakt een redenering niet goed.
Geldigheid zit in de vorm
Veel redeneringen zijn geldig door hun vorm, ongeacht waarover de zinnen gaan. Twee vormen komen steeds terug. Modus ponens: p → q, p, dus q. Modus tollens: p → q, ¬q, dus ¬p. Twee vormen die erop lijken zijn ongeldig. In de Stanford Encyclopedia of Philosophy staan ze bij de formele drogredenen. Bevestiging van het consequent: p → q, q, dus p. Ontkenning van het antecedent: p → q, ¬p, dus ¬q. ‘Als de accu leeg is, start de auto niet. De auto start niet. Dus de accu is leeg’ is bevestiging van het consequent. De brandstof kan ook op zijn.
Wil je een redenering met letters toetsen, maak dan één waarheidstabel met een kolom voor elke premisse en één voor de conclusie. Zoek vervolgens een tegenvoorbeeldrij: alle premissen T, conclusie F. Vind je er een, dan is de redenering ongeldig. Bestaat er geen, dan is die geldig. Bij bevestiging van het consequent is de rij p onwaar, q waar het tegenvoorbeeld: p → q is waar, q is waar en de conclusie p is onwaar.
| geldig | Geen geval waarin alle premissen waar zijn en de conclusie onwaar |
| deugdelijk | Geldig en alle premissen waar |
| tegenvoorbeeld | Een geval waarin de premissen waar zijn en de conclusie onwaar |
| modus ponens | p → q, p, dus q (geldig) |
| modus tollens | p → q, ¬q, dus ¬p (geldig) |
| bevestiging van het consequent | p → q, q, dus p (ongeldig) |
| ontkenning van het antecedent | p → q, ¬p, dus ¬q (ongeldig) |
- Een redenering is geldig als
- de conclusie waar is
- er geen geval is waarin alle premissen waar zijn en de conclusie onwaar
- alle premissen waar zijn
- ‘Alle vogels zijn groen. Een kraai is een vogel. Dus een kraai is groen.’ Deze redenering is
- geldig en deugdelijk
- geldig maar ondeugdelijk
- ongeldig
- Een deugdelijke redenering kan een onware conclusie hebben.
- Waar
- Onwaar
- Een ongeldige redenering kan ware premissen en een ware conclusie hebben.
- Waar
- Onwaar
- ‘Als het heeft gesneeuwd, zijn de wegen wit. De wegen zijn niet wit. Dus het heeft niet gesneeuwd.’ Welke vorm?
- modus ponens
- modus tollens
- bevestiging van het consequent
- ‘Als je leert, slaag je. Je bent geslaagd. Dus je hebt geleerd.’ Welke vorm?
- modus ponens
- bevestiging van het consequent
- ontkenning van het antecedent
- ‘Als het een feestdag is, is de bank gesloten. Het is geen feestdag. Dus de bank is open.’ Welke vorm?
- ontkenning van het antecedent
- modus tollens
- modus ponens
- Welke rij is een tegenvoorbeeld voor ‘p → q, q, dus p’?
- p T, q T
- p T, q F
- p F, q T
- p F, q F
- Je vindt geen tegenvoorbeeldrij in een volledige waarheidstabel. De redenering is
- geldig
- deugdelijk
- ongeldig
- Een geldige redenering heeft een onware conclusie. Wat volgt daaruit?
- Minstens één premisse is onwaar.
- Alle premissen zijn onwaar.
- De redenering is toch ongeldig.
- Geldig: geen geval met ware premissen en een onware conclusie.
- Deugdelijk: geldig én alle premissen waar.
- Modus ponens en modus tollens zijn geldig; bevestiging van het consequent en ontkenning van het antecedent niet.
- Toets met een waarheidstabel: zoek een rij met elke premisse T en de conclusie F.
Bronnen van deze cursus (9)
- P. D. Magnus, Tim Button, Aaron Thomas-Bolduc, Richard Zach, forall x: Calgary , chapters 1 to 6 on sentences, arguments, validity, soundness, connectives and truth tables (forallx.openlogicproject.org/html/)
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Robin Smith, "Aristotle's Logic" (plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/)
- definition of deduction from Prior Analytics I.2 24b18-20, the three figures and the medieval names Barbara and Celarent
- Aristotle, On Interpretation 17a, E. M. Edghill translation (classics.mit.edu/Aristotle/interpretation.1.1.html)
- "a prayer is a sentence, but is neither true nor false"
- Irving H. Anellis, "Peirce's Truth-functional Analysis and the Origin of Truth Tables" (arxiv.org/abs/1108.2429): Peirce manuscript of 1893, Shosky's 1997 find on a 1912 Russell typescript
- Emil Post, "Introduction to a general theory of elementary propositions", American Journal of Mathematics 43 (1921)
- Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (1921, English 1922)
- 4.31. Everyday example sentences are made up for teaching.
Geraadpleegd: 2026-10-17