Uitspraken en waarheidswaarden

‘Doe de deur dicht’ kun je opvolgen of negeren, maar het kan niet waar of onwaar zijn. ‘De deur is dicht’ kan dat wel. Bij dat verschil begint logica.

Zinnen die waar of onwaar kunnen zijn

In de logica onderzoek je redeneringen: een reeks zinnen, de premissen, gevolgd door een zin, de conclusie, die daaruit zou moeten volgen. Niet elke zin kan zo'n plaats innemen. Een vraag als ‘Regent het?’ vraagt om informatie. Een bevel als ‘Neem een paraplu mee’ vertelt iemand wat die moet doen. Een uitroep als ‘Au!’ drukt pijn uit. Geen van deze zinnen beweert dat iets het geval is. Ze kunnen dus niet juist of onjuist zijn zoals een bewering dat kan.

Vergelijk dat met ‘Het regent nu in Busan’. Die zin beweert iets over de wereld; de werkelijkheid bepaalt of de bewering klopt. Het open leerboek forall x definieert een zin in logische zin als een zin die waar of onwaar kan zijn. In wiskundelessen en veel leerboeken heet dat een uitspraak of propositie. Waar of onwaar zijn heet de waarheidswaarde van de uitspraak. Elke uitspraak heeft dus precies één van twee waarheidswaarden.

Je hoeft niet te weten of een uitspraak waar is. ‘Het aantal zandkorrels op het strand van Haeundae is even’ is een uitspraak: die is waar of onwaar, ook al zal niemand ooit tellen. ‘Er is leven op een planeet bij een andere ster’ is ook een uitspraak. In de logica gaat het erom of een zin een waarheidswaarde heeft. Welke waarde dat is, laat je over aan wetenschap, geschiedenis of gewoon controleren.

Meningen, vage woorden en open zinnen

Hier verschillen twee tradities. In forall x wordt gewaarschuwd om het idee van een zin die waar of onwaar kan zijn niet te verwarren met het onderscheid tussen feit en mening. ‘Kimchistoofpot is het lekkerste eten’ geldt daar nog steeds als een zin die als premisse kan dienen. De Koreaanse schoolwiskunde is strenger. Daar noemen leerboeken iets alleen een propositie als iedereen duidelijk kan bepalen of het waar is. Waardeoordelen als ‘het lekkerste eten’ of ‘een mooi lied’ vallen erbuiten. In deze cursus volgen we het logicaboek, maar houd je op een schooltoets aan de strengere regel.

Vage woorden geven een vergelijkbaar probleem. ‘Minho is lang’ heeft geen vaste waarheidswaarde zolang we niet afspreken wat lang is. Een zin met een variabele, zoals ‘x + 2 = 5’, is waar als x gelijk is aan 3 en anders onwaar. Op zichzelf is het dus nog geen uitspraak. Koreaanse leerboeken noemen zo'n zin een voorwaarde. Voornaamwoorden werken net zo: ‘Zij is geboren in 2009’ wordt pas een uitspraak zodra we weten wie zij is.

Negatie: een uitspraak ontkennen

Bij elke uitspraak p is de negatie, geschreven als ¬p en gelezen als ‘niet p’, precies dan waar als p onwaar is. De negatie van ‘De winkel is open’ is ‘De winkel is niet open’. Dat is eenvoudig. Lastiger wordt het bij woorden als alle en sommige. De negatie van ‘Alle bussen zijn te laat’ is niet ‘Alle bussen zijn niet te laat’. Het is ‘Niet alle bussen zijn te laat’: minstens één bus is op tijd. Controleer een negatie door te vragen of in elke situatie precies één van beide uitspraken waar moet zijn. Kunnen beide tegelijk onwaar zijn, dan heb je een tegenstelling opgeschreven, geen negatie.

Uitspraken zoals ‘De winkel is open’ heten enkelvoudig of atomair. Met woorden als en, of, niet en als ... dan verbind je enkelvoudige uitspraken tot samengestelde uitspraken. De waarheidswaarde van een samengestelde uitspraak hangt alleen af van de waarheidswaarden van de onderdelen. In de volgende hoofdstukken behandel je die verbindingswoorden één voor één.