Het gemiddelde als evenwichtspunt

Vijf toetsscores van 6, 8, 9, 7 en 10 zijn samen 40, dus het gemiddelde is 40 ÷ 5 = 8.

Vijf vrienden leggen hun zakgeld bij elkaar

Vijf vrienden krijgen deze week verschillende bedragen aan zakgeld. De bedragen zijn verzonnen: $6, $8, $9, $7 en $10. Ze stoppen alles in één pot, samen $40, en verdelen het eerlijk. Iedereen neemt $8 mee naar huis. Dat bedrag is het gemiddelde. Slechts één van hen had vooraf precies $8, maar niemand heeft er bezwaar tegen.

Met ‘het gemiddelde’ bedoelen mensen bijna altijd dit rekenkundig gemiddelde. Tel de waarden op en deel door het aantal waarden. Met toetsscores van 6, 8, 9, 7 en 10 werkt het net als met zakgeld: de som is 40, er zijn 5 scores en het gemiddelde is 40 ÷ 5 = 8. In statistiekboeken staat x̄ (‘x-streep’) voor het steekproefgemiddelde en μ, de Griekse letter mu, voor het populatiegemiddelde. Je berekent ze op dezelfde manier: x̄ = (som van de waarden) ÷ n.

De afwijkingen van 8 zijn samen nul

Zet de scores nu op een liniaal. Elke score is een muntje met hetzelfde gewicht, op zijn eigen getal. Waar is de liniaal in evenwicht? Bij het gemiddelde. Controleer dat met de afwijkingen: de afstand van elke waarde tot het gemiddelde, met een teken. Voor de toetsscores zijn dat −2, 0, +1, −1 en +2. Samen zijn ze precies 0. Dat geldt voor elke gegevensverzameling: de waarden onder het gemiddelde trekken samen even hard als de waarden erboven. Waarden die verder weg liggen trekken harder. Eén extreme waarde kan het gemiddelde dus flink verschuiven.

Vier gehele getallen met een gemiddelde van 2.5

Het gemiddelde hoeft niet tussen de oorspronkelijke waarden te staan. Het gemiddelde van 1, 2, 3 en 4 is 2.5. Het gemiddelde aantal kinderen per gezin kan 1.8 zijn, hoewel geen enkel gezin 1.8 kinderen heeft. Verhoog elke waarde met hetzelfde bedrag en het gemiddelde stijgt evenveel. Verdubbel elke waarde en ook het gemiddelde verdubbelt. Verander één waarde met d en het gemiddelde verandert met d ÷ n. Bij 5 waarden verhoogt een stijging van één score met 5 punten het gemiddelde met 1.

Omdat het gemiddelde samenhangt met de som, kun je ook terugrekenen. Vier toetsen hebben gemiddeld 80 punten? Dan is de som 320. Voor een gemiddelde van 82 over vijf toetsen heb je samen 410 punten nodig. De vijfde score moet dus 410 − 320 = 90 zijn. Soms tellen onderdelen niet even zwaar mee. Dan bereken je een gewogen gemiddelde: vermenigvuldig elke waarde met het gewicht, tel op en deel door de som van de gewichten. Als huiswerk met score 80 voor 60% meetelt en een examen met score 90 voor 40%, krijg je 0.6 × 80 + 0.4 × 90 = 84.

Gegevens staan vaak in een frequentietabel in plaats van een lijst. Vermenigvuldig elke waarde met het aantal keren dat die voorkomt, tel de producten op en deel door het totale aantal. De symmetrische gegevensverzameling van OpenStax bevat één 4, één 5, drie 6'en, zes 7's, drie 8'en, één 9 en één 10. De producten zijn samen 4 + 5 + 18 + 42 + 24 + 9 + 10 = 112. Er zijn 16 waarden. Het gemiddelde is dus 112 ÷ 16 = 7. Ook dit is een gewogen gemiddelde, met de frequenties als gewichten.