Der Mittelwert als Gleichgewichtspunkt

Fünf Quizergebnisse von 6, 8, 9, 7 und 10 ergeben zusammen 40. Ihr Mittelwert ist also 40 ÷ 5 = 8.

Fünf Freunde legen ihr Taschengeld zusammen

Fünf Freunde bekommen diese Woche unterschiedlich viel Taschengeld. Die Beträge sind erfunden: $6, $8, $9, $7 und $10. Sie legen alles in ein Glas, insgesamt $40, und teilen es gleichmäßig auf. Jeder nimmt $8 mit nach Hause. Dieser Anteil ist der Mittelwert. Nur einer der fünf hatte vorher genau $8, und niemanden stört das.

Wenn Menschen vom „Durchschnitt“ sprechen, meinen sie meist dieses arithmetische Mittel. Addiere alle Werte und teile durch ihre Anzahl. Quizergebnisse von 6, 8, 9, 7 und 10 funktionieren wie das Taschengeld: Die Summe ist 40, es gibt 5 Ergebnisse, also ist der Mittelwert 40 ÷ 5 = 8. Statistikbücher bezeichnen den Mittelwert einer Stichprobe mit x̄ („x quer“) und den einer gesamten Grundgesamtheit mit μ, dem griechischen Buchstaben My. Das Verfahren ist dasselbe: x̄ = (Summe der Werte) ÷ n.

Die Abweichungen von 8 ergeben zusammen null

Lege die Ergebnisse nun auf ein Lineal. Jeder Wert ist eine gleich schwere Münze an seiner Zahlenposition. Wo ist das Lineal im Gleichgewicht? Am Mittelwert. Das lässt sich mit Abweichungen prüfen: dem Abstand jedes Werts vom Mittelwert, mit Vorzeichen. Für die Quizergebnisse lauten sie −2, 0, +1, −1 und +2. Ihre Summe ist genau 0. Das gilt für jeden Datensatz, weil die Werte unterhalb des Mittelwerts insgesamt genauso stark ziehen wie die oberhalb. Weit entfernte Werte ziehen stärker. Ein einzelner Extremwert kann den Mittelwert deshalb weit verschieben.

Vier ganze Zahlen und ein Mittelwert von 2.5

Der Mittelwert muss nicht selbst unter den Werten vorkommen. Der Mittelwert von 1, 2, 3 und 4 ist 2.5. Die mittlere Kinderzahl pro Familie kann 1.8 betragen, obwohl keine Familie 1.8 Kinder hat. Verschiebst du alle Werte um denselben Betrag, verschiebt sich der Mittelwert mit. Verdoppelst du alle Werte, verdoppelt er sich. Änderst du einen einzelnen Wert um d, ändert sich der Mittelwert um d ÷ n. Bei 5 Werten erhöht eine Verbesserung eines Ergebnisses um 5 Punkte den Mittelwert um 1.

Weil der Mittelwert mit der Summe zusammenhängt, kannst du rückwärts rechnen. Vier Tests haben den Mittelwert 80? Dann ergeben sie zusammen 320. Für einen Mittelwert von 82 bei fünf Tests braucht man insgesamt 410. Der fünfte Test muss also 410 − 320 = 90 Punkte liefern. Manchmal zählen Teile einer Note unterschiedlich stark. Dann brauchst du ein gewichtetes Mittel: Multipliziere jeden Wert mit seinem Gewicht, addiere die Produkte und teile durch die Summe der Gewichte. Eine Kursnote aus 60% Hausaufgaben mit 80 und 40% Prüfung mit 90 ergibt 0.6 × 80 + 0.4 × 90 = 84.

Daten liegen oft als Häufigkeitstabelle statt als Liste vor. Multipliziere jeden Wert mit seiner Häufigkeit, addiere die Produkte und teile durch die Gesamtanzahl. Der symmetrische Datensatz von OpenStax enthält eine 4, eine 5, drei 6er, sechs 7er, drei 8er, eine 9 und eine 10. Die Produkte ergeben 4 + 5 + 18 + 42 + 24 + 9 + 10 = 112. Es sind 16 Werte. Der Mittelwert ist also 112 ÷ 16 = 7. Das ist wieder ein gewichtetes Mittel, mit den Häufigkeiten als Gewichten.