Das passende Lagemaß wählen

Bei den 13 Hauspreisen von OpenStax hebt ein Haus für $5 500 000 den Mittelwert auf etwa $865 015. Der Median bleibt bei $488 800.

Neun Wartezeiten auf den Bus: Wie viele lagen über dem Mittelwert?

Probiere das vor dem Weiterlesen. Ein Schüler misst neun Wartezeiten an derselben Haltestelle in Minuten: 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7 und 40. Die Zahlen sind erfunden; die 40 stammt von einem Tag mit Buspanne. Wie groß ist die mittlere Wartezeit, und an wie vielen Tagen wurde länger gewartet? Die Summe beträgt 80 Minuten, also ist der Mittelwert 80 ÷ 9, etwa 8.9 Minuten. Nur die 40 liegt darüber. Acht der neun Wartezeiten waren höchstens 7 Minuten. Der Median, der 5. Wert, beträgt 5 Minuten. Ein Freund fragt, wie lange man gewöhnlich auf diesen Bus wartet. Welche Zahl nennst du?

Nachrichten zu Hauspreisen und Einkommen nennen meist den Median. Schulberichte nennen mittlere Punktzahlen. Das ist keine Geschmacksfrage. Jedes Lagemaß reagiert anders auf die Form der Daten. Welches passt, hängt davon ab, was du beschreiben möchtest.

Ein Haus für $5 500 000 verschiebt den Mittelwert um fast $400 000

Hauspreise zeigen denselben Effekt mit größeren Zahlen. OpenStax nennt 13 Immobilienpreise zwischen $114 950 und $5 500 000. Der 7. sortierte Preis beträgt $488 800 und ist damit der Median. Der Mittelwert ergibt sich aus der Summe $11 245 200 geteilt durch 13: etwa $865 015. Nur zwei der 13 Häuser kosten mehr. Ohne das Haus für $5 500 000 sinkt der Mittelwert der übrigen 12 auf etwa $478 767. Ihr Median von $483 900 ändert sich kaum. Ein einzelner weit entfernter Wert verschob den Mittelwert um fast $400 000 und den Median um etwa $5000.

In der Statistik nennt man den Median robust, den Mittelwert dagegen nicht. Der Mittelwert berücksichtigt die Größe jedes Werts und reagiert daher auf Extremwerte. Der Median nutzt nur die Reihenfolge. Wie weit außen die Extremwerte liegen, ist ihm egal. Bei schiefen Daten mit langem Ausläufer auf einer Seite wird der Mittelwert dorthin gezogen: bei rechtem Ausläufer über den Median, bei linkem darunter. Die Buswartezeiten haben einen rechten Ausläufer. Daher liegt ihr Mittelwert von etwa 8.9 Minuten über dem Median von 5 Minuten.

Für Summen den Mittelwert, bei langen Ausläufern den Median

Nutze den Mittelwert bei ungefähr symmetrischen Daten ohne Extremwerte und wenn die Summe zählt. Eine Lehrkraft, die die Gesamtleistung einer Klasse vergleichen will, braucht ihn. Ebenso ein Geschäft, das aus mittleren Ausgaben den Gesamtumsatz plant, denn Mittelwert × n ergibt die Summe. Nutze den Median bei schiefen Daten wie Einkommen, Hauspreisen, Wartezeiten oder dem Alter beim ersten Hauskauf. Dort würden wenige sehr große Werte einen Mittelwert erzeugen, der kaum jemanden beschreibt. Nutze den Modalwert für Kategorien oder wenn der häufigste Einzelwert gefragt ist. Ein Schuhgeschäft bestellt die häufigste Größe, nicht die mittlere.

Beide Maße zu nennen ist oft die ehrlichste Lösung. Liegt das mittlere Gehalt einer Firma weit über dem Median, ist dieser Abstand selbst eine Nachricht: Einige verdienen viel mehr als alle anderen. Ein getrimmtes Mittel ist ein Mittelweg. Vor der Mittelung wird ein fester Anteil der höchsten und niedrigsten Werte entfernt. Das wird bei manchen Sportbewertungen und in der Wirtschaftsstatistik genutzt.

Sei vorsichtig, wenn Werbung oder Berichte nur „Durchschnitt“ sagen. Gemeint sein können Mittelwert, Median oder Modalwert, und ein Anbieter wählt vielleicht das vorteilhafteste Maß. „Der durchschnittliche Kunde spart $300“ könnte einen durch wenige große Ersparnisse erhöhten Mittelwert nennen, während der Mediankunde viel weniger spart. Wird das Maß nicht genannt, darfst du fragen, welches gemeint ist und auf wie vielen Werten es beruht.