Как выбрать подходящую среднюю величину

Среди 13 цен домов в примере OpenStax один дом за $5 500 000 поднимает среднее примерно до $865 015, а медиана остаётся $488 800.

Девять ожиданий автобуса: сколько длились дольше среднего?

Попробуй решить до чтения. Ученик измерил девять ожиданий на одной остановке в минутах: 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7 и 40. Данные вымышленные; 40 минут пришлось ждать в день поломки автобуса. Каково среднее ожидание и в сколько дней ожидание было дольше среднего? Сумма 80 минут, поэтому среднее 80 ÷ 9, около 8.9 минуты. Только одно ожидание, 40, дольше него. Восемь из девяти длились не более 7 минут. Медиана, значение на 5-м месте, равна 5 минутам. Друг спрашивает, сколько обычно приходится ждать этот автобус. Какое число ты назовёшь?

Новости о ценах на жильё и доходах почти всегда приводят медиану. Школьные отчёты приводят средние оценки. Дело не во вкусе. Каждый показатель по-своему реагирует на форму данных, и выбор зависит от того, что нужно описать.

Один дом за $5,500,000 сдвигает среднее почти на $400,000

С домами происходит то же самое, только числа крупнее. OpenStax приводит 13 цен недвижимости от $114,950 до $5,500,000. Значение на 7-м месте равно $488,800: это медиана. Среднее равно сумме $11,245,200, делённой на 13, то есть примерно $865,015. Лишь два из 13 домов стоят дороже этого среднего. Убери дом за $5,500,000, и среднее остальных 12 упадёт примерно до $478,767. Их медиана $483,900 почти не меняется. Одно крайнее значение сдвинуло среднее почти на $400,000, а медиану примерно на $5000.

Статистики называют медиану устойчивой, а среднее неустойчивым. Среднее учитывает величину каждого значения и поэтому реагирует на крайние. Медиана использует только порядок. Удалённость крайних значений для неё неважна. При асимметрии с длинным хвостом с одной стороны среднее тянется к хвосту: выше медианы при правом хвосте, ниже при левом. У ожиданий автобуса правый хвост, поэтому среднее около 8.9 минуты выше медианы 5 минут.

Для сумм нужно среднее; для длинных хвостов медиана

Используй среднее, если данные примерно симметричны, не имеют крайних значений и важна сумма. Оно нужно учителю, который оценивает общий результат класса. Оно же нужно магазину для расчёта общих продаж по средним тратам, ведь среднее × n возвращает сумму. Для асимметричных данных, например доходов, цен домов, времени ожидания или возраста покупки первого жилья, используй медиану: несколько очень больших значений сделали бы среднее непохожим почти ни на кого. Для категорий или самого частого значения используй моду. Обувной магазин заказывает наиболее распространённый размер, а не средний.

Часто честнее привести оба показателя. Если средняя зарплата компании намного выше медианной, сам разрыв уже новость. Он означает, что несколько человек получают гораздо больше остальных. Усечённое среднее занимает промежуточное положение: перед усреднением отбрасывают фиксированную долю наибольших и наименьших значений. Его применяют в судействе некоторых видов спорта и в экономической статистике.

Будь осторожен, если реклама или отчёт говорит просто «среднее». Это может быть среднее арифметическое, медиана или мода, и продавец может выбрать самый выгодный показатель. «Средний клиент экономит $300» может означать среднее, поднятое несколькими крупными случаями экономии, тогда как медианный клиент экономит намного меньше. Если вид средней величины не назван, разумно спросить, какой показатель использован и по скольким значениям он получен.