edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Вероятность и статистика›Средние величины

Среднее как точка равновесия

Пять оценок 6, 8, 9, 7 и 10 в сумме дают 40, поэтому среднее равно 40 ÷ 5 = 8.

Пятеро друзей складывают карманные деньги

На этой неделе пятеро друзей получили разные суммы карманных денег. Числа вымышленные: $6, $8, $9, $7 и $10. Они складывают всё в одну банку, всего $40, и делят поровну. Каждый уносит домой $8. Эта доля и есть среднее. Только у одного из пяти изначально было ровно $8, но никто не возражает.

Говоря «среднее», люди почти всегда имеют в виду среднее арифметическое. Сложи значения и раздели на их количество. Оценки 6, 8, 9, 7 и 10 считаются так же, как карманные деньги: сумма 40, оценок 5, среднее 40 ÷ 5 = 8. В статистике выборочное среднее обозначают x̄ («икс с чертой»), а среднее генеральной совокупности греческой буквой μ, «мю». Правило одинаково: x̄ = (сумма значений) ÷ n.

Отклонения от 8 в сумме дают ноль

Теперь размести оценки на линейке. Каждая оценка словно монета одинакового веса на своей отметке. Где линейка будет в равновесии? В среднем. Это можно проверить через отклонения: расстояния от каждого значения до среднего с учётом знака. Для оценок они равны −2, 0, +1, −1 и +2. Их сумма ровно 0. Так происходит в любом наборе данных: значения ниже среднего тянут с той же суммарной силой, что и значения выше него. Далёкие значения тянут сильнее, поэтому одно крайнее значение может сильно сдвинуть среднее.

Оценки 6, 7, 8, 9 и 10 на балке. Отклонения от 8 равны −2, −1, 0, +1 и +2, в сумме 0, поэтому балка уравновешена в x̄ = 8.
Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Пять оценок показаны точками. Красный треугольник под линией обозначает среднее, точку равновесия, а зелёная отметка медиану. Перетащи 10 к правому краю и посмотри, насколько далеко пойдёт треугольник. Затем нажми на пустое место, чтобы добавить шестую оценку.

Четыре целых числа и среднее 2.5

Среднее не обязано совпадать с одним из значений. Среднее чисел 1, 2, 3 и 4 равно 2.5. Среднее число детей в семье может быть 1.8, хотя ни в одной семье нет 1.8 ребёнка. Сдвинь все значения на одну величину, и среднее сдвинется так же; удвой каждое значение, и среднее удвоится. Измени одно значение на d, и среднее изменится на d ÷ n. В наборе из 5 значений увеличение одной оценки на 5 баллов повышает среднее на 1.

Связь среднего с суммой позволяет считать в обратную сторону. Среднее четырёх контрольных равно 80? Тогда их сумма 320. Для среднего 82 по пяти контрольным нужна сумма 410, поэтому пятая оценка должна быть 410 − 320 = 90. Иногда части итоговой оценки имеют разный вес. Тогда нужно взвешенное среднее: умножь значения на их веса, сложи и раздели на сумму весов. Если домашняя работа с оценкой 80 даёт 60%, а экзамен с оценкой 90 даёт 40%, итог равен 0.6 × 80 + 0.4 × 90 = 84.

Данные нередко представлены таблицей частот, а не списком. Умножь каждое значение на число его повторений, сложи произведения и раздели на общее количество. В симметричном наборе OpenStax одна 4, одна 5, три 6, шесть 7, три 8, одна 9 и одна 10. Сумма произведений 4 + 5 + 18 + 42 + 24 + 9 + 10 = 112. Всего значений 16. Среднее 112 ÷ 16 = 7. Это снова взвешенное среднее, где весами служат частоты.

Среднее чисел 2, 2, 2, 2 и 12 равно 20 ÷ 5 = 4. Лишь одно из пяти чисел находится хоть сколько-нибудь близко к нему. В следующих уроках рассмотрим средние величины, устойчивые к одному большому значению.
Среднее арифметическоеСумма значений ÷ количество значений
x̄ и μВыборочное среднее и среднее генеральной совокупности
ОтклонениеЗначение − среднее; сумма отклонений всегда равна 0
Взвешенное среднееΣ(вес × значение) ÷ Σ весов
  1. Чему равно среднее чисел 3, 7 и 8?
  2. Чему равно среднее оценок 6, 8, 9, 7, 10?
  3. Чему равна сумма отклонений этих оценок от среднего?
  4. Среднее четырёх контрольных равно 80. Какой должна быть пятая оценка, чтобы среднее стало 82?
  5. Домашняя работа: 80 с весом 60%, экзамен: 90 с весом 40%. Чему равно взвешенное среднее?
  6. Чему равно среднее чисел 2, 2, 2, 2, 12?
  7. Данные OpenStax: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8. Чему равно среднее?
  8. Каждое значение набора со средним 12 увеличили на 5. Каково новое среднее?
  9. Среднее пяти значений равно 8. Одно увеличилось на 5. Каково новое среднее?
  10. Может ли среднее отсутствовать среди самих данных?
    • Нет, никогда
    • Да, например 2.5 для 1, 2, 3, 4
    • Только при чётном n
    • Только для отрицательных данных
Частые ошибки
  • Усреднять средние двух классов: класс A из 20 учеников имеет среднее 70, класс B из 30 учеников имеет среднее 80, значит, общее среднее 75. Размеры классов различаются. Вернись к суммам: 20 × 70 + 30 × 80 = 3800 баллов на 50 учеников, среднее 76. Простое среднее двух средних подходит только для групп одинакового размера.
  • Усреднять проценты: 1 попадание из 2 штрафных в одной игре (50%) и 9 из 10 в следующей (90%) дают (50% + 90%) ÷ 2 = 70%. Во второй игре бросков было в пять раз больше. Считай броски: 10 попаданий из 12 составляют около 83.3%. При усреднении процентов теряется информация о том, от какого количества они взяты.
  • Пропускать 0: оценки 0, 6, 8 и 10 усреднять как 24 ÷ 3 = 8. Ноль тоже значение. Оценок четыре, поэтому среднее 24 ÷ 4 = 6. Пропуск оправдан лишь тогда, когда 0 означает «не сдавал работу» и принято решение исключить этого ученика.
Заметка для учителяНачните с дележа поровну, а не с формулы. Подойдут выравнивание стопок кубиков или банка с карманными деньгами. Тогда у правила «сложить и разделить» появляется смысл. Отклонениям стоит уделить ещё минуту: они вернутся в уроке о разбросе как первый шаг вычисления стандартного отклонения. Во взвешенном среднем следите за делением на число элементов вместо суммы весов; при весах 60% и 40% сумма уже равна 1.
Главное
  • Среднее = сумма ÷ n (x̄ для выборки, μ для генеральной совокупности).
  • Сумма отклонений от среднего равна 0: среднее является точкой равновесия.
  • Изменение одного значения на d сдвигает среднее на d ÷ n.
  • Взвешенное среднее: умножь на веса, сложи, раздели на сумму весов.
Источники курса (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-01] 평균의 의미, 고려 사항 「평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다」; 중학교 1~3학년군 [9수04-01] 중앙값·최빈값과 대푯값 고르기, [9수04-07] 분산과 표준편차, [9수04-08] 상자그림으로 분포 비교, 용어 변량·대푯값·중앙값·최빈값·도수분포표·산포도·편차·분산·표준편차·사분위수·상자그림; 고등학교 확률과 통계 용어 표본평균·모평균·표본분산·표본표준편차와 기호 X̄, S², S, N(m, σ²); 실용 통계 [12실통02-04] 대푯값과 산포도 고르기)
  • Middle-school variance as the mean of the squared deviations: EBS Math 중3 「분산과 표준편차」 (www.ebsmath.co.kr/resource/rscView?cate=123500&cate2=123510&cate3=123511&rscTpDscd=RTP10&grdCd=MGRD03&sno=24525&type=S, read 2026-10-19)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 2.3 measures of location, quartiles as medians of the lower and upper halves, IQR, 1.5 × IQR outlier rule, 13 real estate prices, 11 salaries, day and evening class test scores (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-3-measures-of-the-location-of-the-data)
  • 2.5 measures of the center (.../pages/2-5-measures-of-the-center-of-the-data)
  • 2.6 skewness and the mean, median and mode, the three ten- and sixteen-value data sets (.../pages/2-6-skewness-and-the-mean-median-and-mode)
  • 2.7 measures of the spread, sample standard deviation with n − 1 (.../pages/2-7-measures-of-the-spread-of-the-data)
  • Trimmed mean only: Federal Reserve Bank of Dallas, Trimmed Mean PCE inflation rate (dallasfed.org/research/pce and /research/pce/descr)

Проверено: 2026-10-17