La media como punto de equilibrio

Cinco notas de 6, 8, 9, 7 y 10 suman 40, así que su media es 40 ÷ 5 = 8.

Cinco amigos juntan su dinero de bolsillo

Esta semana, cinco amigos reciben distintas cantidades de dinero de bolsillo. Los datos son inventados: $6, $8, $9, $7 y $10. Lo ponen todo en un frasco, $40 en total, y lo reparten por igual. Cada uno se lleva $8. Ese reparto es la media. Solo uno tenía exactamente $8 al principio, y a nadie le molesta.

Cuando se habla del «promedio», casi siempre se alude a esta media aritmética. Suma los valores y divide entre la cantidad de datos. Las notas 6, 8, 9, 7 y 10 funcionan igual que el dinero: suman 40, hay 5 notas y la media es 40 ÷ 5 = 8. Los libros de estadística escriben la media de una muestra como x̄ («equis barra») y la de una población completa como μ, la letra griega mu. El cálculo es el mismo: x̄ = (suma de los valores) ÷ n.

Las desviaciones respecto a 8 suman cero

Coloca ahora las notas sobre una regla. Cada una es una moneda del mismo peso situada en su número. ¿Dónde se equilibra la regla? En la media. Puedes comprobarlo con las desviaciones: la distancia de cada valor a la media, con signo. Para estas notas son −2, 0, +1, −1 y +2. Suman exactamente 0. Ocurre en cualquier conjunto de datos: los valores inferiores a la media ejercen, en conjunto, la misma fuerza que los superiores. Los valores más alejados tiran más, por lo que uno extremo puede desplazar mucho la media.

Cuatro números enteros y una media de 2.5

La media no tiene por qué coincidir con un dato. La media de 1, 2, 3 y 4 es 2.5. El número medio de hijos por familia puede ser 1.8, aunque ninguna familia tenga 1.8 hijos. Si sumas la misma cantidad a todos los datos, la media aumenta esa cantidad; si duplicas todos, la media se duplica. Cambiar un solo valor en d modifica la media en d ÷ n. En un conjunto de 5 datos, subir una nota 5 puntos aumenta la media en 1.

Como la media está ligada al total, también puedes calcular hacia atrás. ¿Cuatro exámenes tienen una media de 80? Entonces suman 320. Para una media de 82 en cinco exámenes hace falta un total de 410, así que la quinta nota debe ser 410 − 320 = 90. A veces, las partes de una calificación pesan distinto. Se necesita entonces una media ponderada: multiplica cada valor por su peso, suma y divide entre la suma de los pesos. Si las tareas cuentan un 60% con nota 80 y el examen un 40% con nota 90, la nota final es 0.6 × 80 + 0.4 × 90 = 84.

A menudo, los datos se presentan en una tabla de frecuencias y no en una lista. Multiplica cada valor por las veces que aparece, suma los productos y divide entre la cantidad total de datos. El conjunto simétrico de OpenStax contiene un 4, un 5, tres 6, seis 7, tres 8, un 9 y un 10. Los productos suman 4 + 5 + 18 + 42 + 24 + 9 + 10 = 112. Hay 16 datos. La media es, por tanto, 112 ÷ 16 = 7: otra media ponderada, con las frecuencias como pesos.