Medir la dispersión

El grupo diurno de OpenStax tiene un rango intercuartílico de 26.5 puntos; el nocturno, de solo 11.

Un docente corrige el mismo examen en dos grupos pequeños. Las notas son inventadas. El grupo A obtiene 70, 75, 80, 85 y 90. El B obtiene 60, 60, 80, 100 y 100. Ambas medias son 80, y un informe que solo diera la media los presentaría como idénticos. No lo son. En A todas las notas distan como máximo 10 puntos de 80. En B, cuatro de los cinco estudiantes están a 20 puntos, dos por encima y dos por debajo. Hace falta otro número que indique cuánto se dispersan las notas. Esta lección aborda tres medidas: el rango, el rango intercuartílico y la desviación estándar. Más abajo, los grupos diurno y nocturno de OpenStax muestran lo mismo con datos reales.

El rango usa dos datos; los cuartiles, la mitad central

El rango es el mayor valor menos el menor. Para los dos grupos inventados es 90 − 70 = 20 y 100 − 60 = 40. Es sencillo, pero depende solo de dos valores, a menudo los menos representativos. Los cuartiles aportan más. Ordena los datos y halla la mediana, también llamada Q2. El primer cuartil Q1 es la mediana de la mitad inferior y el tercero Q3, la de la mitad superior; cuando n es impar, OpenStax excluye la propia mediana de ambas mitades. Aproximadamente un cuarto de los datos queda en Q1 o por debajo, y tres cuartos en Q3 o por debajo. El rango intercuartílico, IQR = Q3 − Q1, es la anchura de la mitad central de los datos.

OpenStax compara dos grupos reales de estadística. El diurno tiene este resumen de cinco números: mínimo 32, Q1 56, mediana 74.5, Q3 82.5 y máximo 99; su IQR es 82.5 − 56 = 26.5. El nocturno tiene 25.5, 78, 81, 89 y 98; su IQR es 89 − 78 = 11. Ambos rangos son grandes: 67 y 72.5. Los IQR cuentan otra historia: la mitad central del grupo nocturno está mucho más concentrada. Un diagrama de caja representa esos cinco números. La caja va de Q1 a Q3, con una línea en la mediana, y los bigotes llegan al mínimo y al máximo.

Por qué se elevan al cuadrado las desviaciones antes de promediarlas

La desviación estándar usa todos los datos. Empieza por sus desviaciones respecto a la media. Sumarlas no sirve: siempre dan 0. Por eso se elevan al cuadrado, de modo que ya no haya términos negativos; luego se promedian los cuadrados y se extrae la raíz para recuperar las unidades originales. Para una muestra, OpenStax divide la suma de cuadrados entre n − 1 en vez de n; el resultado es la desviación estándar muestral s. Para las notas 6, 8, 9, 7 y 10 (media 8), las desviaciones son −2, 0, 1, −1, 2. Sus cuadrados suman 10, la varianza muestral es 10 ÷ 4 = 2.5 y s = √2.5, unos 1.58 puntos. Dividir entre n da el valor poblacional σ = √2, unos 1.41. En los grupos inventados, s es aproximadamente 7.91 puntos para A y exactamente 20 para B.

Una interpretación aproximada de s: con datos en forma de campana, unos dos tercios quedan a una desviación estándar de la media o menos, y cerca del 95% a dos o menos. Sumar el mismo número a todos los datos no cambia ni el IQR ni s, porque todos se desplazan juntos. Duplicar los datos duplica ambas medidas. Como la media, s no es resistente: un dato extremo puede aumentarla mucho, mientras el IQR apenas cambia.