ばらつきを測る
OpenStaxの昼間クラスの四分位範囲は26.5点ですが、夜間クラスは11点だけです。
教師が二つの少人数クラスで同じテストを採点しました。架空の得点で、A組は70、75、80、85、90、B組は60、60、80、100、100です。どちらも平均80で、平均値だけなら同じと報告されますが、実際は違います。A組は全員80から10点以内です。B組は五人中四人が20点離れ、上下に二人ずついます。散らばりを表す別の数が必要です。この授業では範囲、四分位範囲、標準偏差の三つを学びます。後に示すOpenStaxの昼間・夜間クラスでも、実データで同じことが分かります。
範囲は二つの値、四分位数は中央の半分を見る
範囲は最大値から最小値を引いたものです。架空の二クラスでは90 − 70 = 20と100 − 60 = 40です。簡単ですが、典型的でないことも多い端の二値だけに依存します。四分位数なら改善できます。並べ替えて中央値Q2を求めます。第1四分位数Q1は下半分の中央値、第3四分位数Q3は上半分の中央値です。nが奇数のとき、OpenStaxでは全体の中央値を両方の半分から除きます。約四分の一のデータがQ1以下、約四分の三がQ3以下です。四分位範囲IQR = Q3 − Q1は中央半分の幅です。
OpenStaxは実際の統計の二クラスを比較しています。昼間クラスの五数要約は最小値32、Q1が56、中央値74.5、Q3が82.5、最大値99で、IQRは82.5 − 56 = 26.5です。夜間クラスは25.5、78、81、89、98で、IQRは89 − 78 = 11です。範囲は67と72.5でどちらも大きいですが、IQRからは夜間クラスの中央半分がずっと密集していると分かります。箱ひげ図はこの五数を描き、箱はQ1からQ3、箱内の線は中央値、ひげは最小値と最大値まで伸びます。
偏差を平均する前に二乗する理由
標準偏差はすべての値を使います。まず平均値からの偏差を求めます。合計は必ず0になるため、そのまま足しても役立ちません。先に二乗して正にし、その平均を取って平方根で元の単位に戻します。標本ではOpenStaxは平方和をnでなくn − 1で割り、標本標準偏差sを求めます。得点6、8、9、7、10（平均8）の偏差は−2、0、1、−1、2で、平方和は10、標本分散は10 ÷ 4 = 2.5、s = √2.5で約1.58点です。nで割る母集団の値ならσ = √2で約1.41です。架空のA組ではsは約7.91点、B組ではちょうど20です。
sの大まかな読み方は、釣り鐘型のデータなら約三分の二が平均から標準偏差一つ以内、約95%が二つ以内です。全値に同じ数を足しても一緒に動くのでIQRもsも変わりません。全値を2倍すれば両方2倍です。sも平均値と同じく頑健ではなく、極端な値一つで大きくなりますが、IQRはほとんど影響されません。
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| 範囲 | 最大値 − 最小値 |
| Q1とQ3 | 下半分と上半分の中央値 |
| 四分位範囲（IQR） | Q3 − Q1。中央半分の幅 |
| 五数要約 | 最小値、Q1、中央値、Q3、最大値 |
| 標本標準偏差s | √(Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)) |
- 2、4、4、4、5、5、7、9の範囲はいくつですか。
- 2、4、4、4、5、5、7、9のQ1はいくつですか。
- 2、4、4、4、5、5、7、9のQ3はいくつですか。
- OpenStaxの昼間クラス（Q1 = 56、Q3 = 82.5）のIQRはいくつですか。
- 夜間クラス（Q1 = 78、Q3 = 89）のIQRはいくつですか。
- 得点6、8、9、7、10の標本分散（平方和 ÷ (n − 1)）はいくつですか。
- この得点の標本標準偏差sを小数第2位まで求めてください。
- 得点をすべて2倍して12、16、18、14、20にします。sを小数第2位まで求めてください。
- 全員の得点に5点加えると標準偏差はどうなりますか。
- 5増える
- 変わらない
- 2倍になる
- 5減る
- 極端な値一つの影響を最も受けにくい、ばらつきの指標はどれですか。
- 範囲
- 標準偏差
- 四分位範囲（IQR）
- どれも同じ
- 1、5、5、5、9と1、1、5、9、9はどちらも範囲8なので、ばらつきも同じとする。 範囲は両端しか見ません。前者は三つが平均値5にありますが、後者は四つが両端にあります。IQRは4と8、sは約2.83とちょうど4です。
- 2、4、6の偏差−2、0、2を足して、「ばらつきは0」とする。 平均値からの偏差の合計はどのデータでも0です。そのため先に二乗します。4、0、4の合計は8です。
- 分散で止め、2、4、6の標準偏差を8 ÷ 2 = 4と報告する。 4は標本分散で、単位は元の単位の二乗です。平方根を取るとs = 2となり、元と同じ単位になります。
- 範囲 = 最大値 − 最小値。簡単ですが、極端な値に弱い指標です。
- Q1、Q3は各半分の中央値です。IQR = Q3 − Q1は頑健です。
- 標本標準偏差sでは、偏差の平方和をn − 1で割ります。
- 平行移動ではばらつきは変わらず、倍率を掛けるとばらつきも同じ倍率で変わります。
このコースの出典 (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-01] 평균의 의미, 고려 사항 「평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다」; 중학교 1~3학년군 [9수04-01] 중앙값·최빈값과 대푯값 고르기, [9수04-07] 분산과 표준편차, [9수04-08] 상자그림으로 분포 비교, 용어 변량·대푯값·중앙값·최빈값·도수분포표·산포도·편차·분산·표준편차·사분위수·상자그림; 고등학교 확률과 통계 용어 표본평균·모평균·표본분산·표본표준편차와 기호 X̄, S², S, N(m, σ²); 실용 통계 [12실통02-04] 대푯값과 산포도 고르기)
- Middle-school variance as the mean of the squared deviations: EBS Math 중3 「분산과 표준편차」 (www.ebsmath.co.kr/resource/rscView?cate=123500&cate2=123510&cate3=123511&rscTpDscd=RTP10&grdCd=MGRD03&sno=24525&type=S, read 2026-10-19)
- Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 2.3 measures of location, quartiles as medians of the lower and upper halves, IQR, 1.5 × IQR outlier rule, 13 real estate prices, 11 salaries, day and evening class test scores (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-3-measures-of-the-location-of-the-data)
- 2.5 measures of the center (.../pages/2-5-measures-of-the-center-of-the-data)
- 2.6 skewness and the mean, median and mode, the three ten- and sixteen-value data sets (.../pages/2-6-skewness-and-the-mean-median-and-mode)
- 2.7 measures of the spread, sample standard deviation with n − 1 (.../pages/2-7-measures-of-the-spread-of-the-data)
- Trimmed mean only: Federal Reserve Bank of Dallas, Trimmed Mean PCE inflation rate (dallasfed.org/research/pce and /research/pce/descr)
確認日: 2026-10-17