Mengukur sebaran

Kelas siang OpenStax memiliki jangkauan antarkuartil 26.5 poin, sedangkan kelas malam hanya 11.

Guru menilai tes yang sama pada dua kelas kecil. Nilainya rekaan. Kelas A mendapat 70, 75, 80, 85, dan 90. Kelas B mendapat 60, 60, 80, 100, dan 100. Kedua rata-ratanya 80, sehingga laporan yang hanya memuat rata-rata akan menyebut kedua kelas sama. Padahal tidak. Di kelas A setiap nilai berjarak paling jauh 10 poin dari 80. Di kelas B empat dari lima siswa berjarak 20 poin, dua di atas dan dua di bawah. Guru memerlukan angka kedua yang menjelaskan seberapa tersebar nilainya. Pelajaran ini membahas tiga ukuran sebaran: jangkauan, jangkauan antarkuartil, dan simpangan baku. Kelas siang dan malam OpenStax di bawah menunjukkan hal sama dengan data nyata.

Jangkauan memakai dua nilai; kuartil memakai separuh tengah

Jangkauan adalah nilai terbesar dikurangi terkecil. Untuk dua kelas rekaan tadi, nilainya 90 − 70 = 20 dan 100 − 60 = 40. Cukup mudah. Namun ukuran ini bergantung pada hanya dua nilai yang sering paling tidak mewakili data. Kuartil lebih baik. Urutkan data dan cari median, juga disebut Q2. Kuartil pertama Q1 adalah median separuh bawah dan kuartil ketiga Q3 adalah median separuh atas; jika n ganjil, OpenStax tidak memasukkan median itu sendiri ke kedua bagian. Sekitar seperempat data berada pada atau di bawah Q1 dan sekitar tiga perempat pada atau di bawah Q3. Jangkauan antarkuartil, IQR = Q3 − Q1, adalah lebar separuh tengah data.

OpenStax membandingkan dua kelas statistika nyata. Kelas siang memiliki ringkasan lima angka: minimum 32, Q1 56, median 74.5, Q3 82.5, dan maksimum 99, sehingga IQR-nya 82.5 − 56 = 26.5. Kelas malam memiliki 25.5, 78, 81, 89, dan 98, dengan IQR 89 − 78 = 11. Kedua jangkauan besar, 67 dan 72.5. IQR menyampaikan hal berbeda: separuh tengah kelas malam jauh lebih rapat. Diagram kotak menggambar kelima angka ini. Kotak membentang dari Q1 sampai Q3 dengan garis pada median, dan kumis mencapai nilai terkecil dan terbesar.

Mengapa simpangan dikuadratkan sebelum dirata-ratakan

Simpangan baku menggunakan setiap nilai. Mulailah dengan simpangan dari rata-rata. Menjumlahkannya tidak berguna karena hasilnya selalu 0. Jadi kuadratkan dahulu agar semuanya positif, lalu ratakan kuadratnya dan ambil akar kuadrat untuk kembali ke satuan awal. Untuk sampel, OpenStax membagi jumlah kuadrat dengan n − 1, bukan n; hasil akhirnya adalah simpangan baku sampel s. Untuk nilai kuis 6, 8, 9, 7, dan 10 (rata-rata 8), simpangannya −2, 0, 1, −1, 2. Jumlah kuadratnya 10, varians sampel 10 ÷ 4 = 2.5, dan s = √2.5, sekitar 1.58 poin. Membagi dengan n menghasilkan nilai populasi σ = √2, sekitar 1.41. Untuk dua kelas rekaan tadi, s sekitar 7.91 poin untuk kelas A dan tepat 20 untuk kelas B.

Cara kasar membaca s: untuk data berbentuk lonceng, sekitar dua pertiga nilai berada dalam satu simpangan baku dari rata-rata dan sekitar 95% dalam dua simpangan baku. Menambah bilangan sama pada setiap nilai tidak mengubah IQR maupun s karena semua nilai bergerak bersama. Gandakan setiap nilai dan keduanya berlipat dua. Seperti rata-rata, s tidak tahan terhadap nilai ekstrem. Satu nilai ekstrem bisa sangat memperbesarnya, sementara IQR hampir tidak terpengaruh.