Mesurer la dispersion

Le cours de jour d'OpenStax a un écart interquartile de 26.5 points, contre seulement 11 pour le cours du soir.

Un enseignant corrige le même contrôle dans deux petites classes. Les notes sont fictives. La classe A obtient 70, 75, 80, 85 et 90. La classe B obtient 60, 60, 80, 100 et 100. Les deux moyennes valent 80 : un rapport limité à la moyenne jugerait les classes identiques. Elles ne le sont pas. Dans la classe A, chaque note est à moins de 10 points de 80. Dans la classe B, quatre élèves sur cinq sont à 20 points, deux au-dessus et deux au-dessous. L'enseignant a besoin d'un second nombre décrivant la dispersion des notes. Cette leçon présente trois indicateurs : l'étendue, l'écart interquartile et l'écart-type. Plus bas, les cours de jour et du soir d'OpenStax montrent la même chose avec des données réelles.

L'étendue utilise deux valeurs ; les quartiles décrivent la moitié centrale

L'étendue est la plus grande valeur moins la plus petite. Pour les deux classes fictives, elle vaut 90 − 70 = 20 et 100 − 60 = 40. Le calcul est facile, mais ne dépend que de deux valeurs, souvent les moins représentatives. Les quartiles font mieux. Trie les données et trouve la médiane, aussi appelée Q2. Le premier quartile Q1 est la médiane de la moitié inférieure et le troisième quartile Q3 celle de la moitié supérieure ; quand n est impair, OpenStax exclut la médiane de chacune des deux moitiés. Environ un quart des données sont inférieures ou égales à Q1 et trois quarts à Q3. L'écart interquartile, IQR = Q3 − Q1, mesure la largeur de la moitié centrale des données.

OpenStax compare deux vrais cours de statistique. Pour le cours de jour, le résumé à cinq nombres donne minimum 32, Q1 56, médiane 74.5, Q3 82.5 et maximum 99 ; son IQR vaut donc 82.5 − 56 = 26.5. Le cours du soir donne 25.5, 78, 81, 89 et 98, soit un IQR de 89 − 78 = 11. Les deux étendues sont grandes : 67 et 72.5. Les écarts interquartiles racontent autre chose : la moitié centrale du cours du soir est beaucoup plus resserrée. Une boîte à moustaches représente ces cinq nombres. La boîte va de Q1 à Q3, avec un trait à la médiane, et les moustaches atteignent les valeurs minimale et maximale.

Pourquoi mettre les écarts au carré avant d'en faire la moyenne

L'écart-type utilise chaque valeur. Commence par les écarts à la moyenne. Les additionner ne sert à rien : leur somme vaut toujours 0. On les met donc au carré pour les rendre tous positifs, puis on fait la moyenne des carrés et on prend la racine carrée pour retrouver les unités de départ. Pour un échantillon, OpenStax divise la somme des carrés par n − 1 plutôt que par n ; on obtient l'écart-type d'échantillon s. Pour les notes 6, 8, 9, 7 et 10 (moyenne 8), les écarts valent −2, 0, 1, −1, 2. La somme de leurs carrés est 10, la variance d'échantillon vaut 10 ÷ 4 = 2.5, et s = √2.5, soit environ 1.58 point. Diviser par n donne l'écart-type de population σ = √2, soit environ 1.41. Pour les deux classes fictives, s vaut environ 7.91 points pour la classe A et exactement 20 pour la classe B.

Pour interpréter s approximativement : dans des données en cloche, environ deux tiers des valeurs se trouvent à moins d'un écart-type de la moyenne, et environ 95% à moins de deux. Ajouter le même nombre à toutes les valeurs ne change ni l'IQR ni s, car elles se déplacent ensemble. Doubler toutes les valeurs double les deux indicateurs. Comme la moyenne, s n'est pas résistant. Une valeur extrême peut beaucoup l'augmenter, tandis que l'IQR change à peine.