Valeurs aberrantes et règle de 1.5 × IQR

Dans le cours du soir d'OpenStax, la règle de 1.5 × IQR signale les notes 45 et 25.5 comme aberrantes, car toutes deux sont inférieures à 61.5.

Une note de 45 est-elle inhabituelle dans cette classe ?

Commence par le labo ci-dessous. Il contient les 22 notes du cours du soir d'OpenStax, avec les bornes des valeurs aberrantes activées. Avant de toucher aux points, fais une estimation. Le 45 est-il aberrant ? Et le 25.5 ? Repère les anneaux rouges, puis fais monter lentement le 45 et arrête-toi dès que son anneau disparaît. Note la valeur atteinte. La suite de cette page explique le nombre que tu viens de trouver.

Une valeur aberrante est anormalement éloignée du reste des données. Elle peut provenir d'une faute de saisie ou d'un capteur défectueux, mais aussi correspondre à un cas réel et important : une maison qui est une grande demeure, un patient qui réagit différemment à un médicament. OpenStax recommande de les examiner plutôt que de les supprimer automatiquement. Il faut d'abord un critère raisonnable pour décider ce que signifie « anormalement éloignée ».

Deux bornes, chacune à 1.5 IQR d'un quartile

La règle usuelle construit deux bornes à partir des quartiles. La borne inférieure est Q1 − 1.5 × IQR et la borne supérieure Q3 + 1.5 × IQR. Toute valeur sous la borne inférieure ou au-dessus de la borne supérieure est potentiellement aberrante. Le choix des quartiles est volontaire : les valeurs aberrantes ne peuvent pas repousser les bornes comme elles font augmenter la moyenne ou l'écart-type.

Revenons au labo. Le cours du soir a Q1 = 78, Q3 = 89 et IQR = 11. Les bornes valent 78 − 1.5 × 11 = 61.5 et 89 + 1.5 × 11 = 105.5 : c'est à 61.5 que le 45 a perdu son anneau. Les notes 45 et 25.5 sont inférieures à 61.5, donc aberrantes ; aucune ne dépasse 105.5. Le cours de jour, d'IQR 26.5, a des bornes de 16.25 et 122.25 : même ses notes de 32 restent à l'intérieur. Pour les 11 salaires d'OpenStax, Q1 = 40.5, Q3 = 69 et IQR = 28.5. La borne supérieure vaut donc 69 + 42.75 = 111.75 milliers de dollars : le salaire de 120 000 $ est potentiellement aberrant. Pour les 13 prix immobiliers, la borne supérieure est 1 159 375 $. La maison à 5 500 000 $ la dépasse largement. Celle à 1 095 000 $ reste juste en dessous.

Deux notes basses font perdre plus de 4 points à la moyenne

Compare le cours du soir avec et sans ses deux valeurs aberrantes. Pour les 22 notes, la moyenne est d'environ 79.05, la médiane de 81 et l'écart-type d'environ 16.8. Sans 45 ni 25.5, les 20 notes restantes ont une moyenne d'environ 83.43, une médiane de 82 et un écart-type d'environ 9.0. La moyenne a gagné plus de 4 points et l'écart-type a presque été divisé par deux, tandis que la médiane n'a bougé que de 1. Même constat pour les salaires : retirer celui de 120 000 $ fait passer la moyenne d'environ 58 682 $ à 52 550 $, tandis que la médiane reste à 54 000 $.

Que faire d'une valeur aberrante ? Vérifie d'abord si elle vient d'une erreur, par exemple 25.5 saisi au lieu de 85.5. Si l'erreur est confirmée et corrigeable, corrige-la. Si la valeur est réelle, conserve-la et signale-la ; envisage de donner les indicateurs résistants, médiane et IQR, en plus de la moyenne et de l'écart-type. Supprimer des valeurs réelles parce qu'elles dérangent change ce que racontent les données. La règle est un signal, pas un verdict. « Potentiellement aberrante » signifie « à examiner ».