外れ値と1.5 × IQRの規則
OpenStaxの夜間クラスでは、45と25.5がともに61.5未満なので、1.5 × IQRの規則で外れ値と判定されます。
このクラスで45点は珍しい？
下の実験から始めましょう。OpenStaxの夜間クラス22人の得点と、外れ値の境界が表示されています。触る前に、45は外れ値か、25.5はどうか予想してください。赤い輪を探し、45をゆっくり上げて輪が消えた瞬間に止めます。その位置を記録しましょう。この後で、見つけた数を説明します。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
外れ値は、ほかのデータから異常に離れた値です。入力ミスやセンサー故障かもしれませんが、豪邸や薬への反応が異なる患者など、本物で重要な例かもしれません。OpenStaxは自動で削除せず、よく調べるよう勧めています。そのためには、何を「異常に遠い」とするか、公平な決め方が必要です。
四分位数から1.5 IQRずつ外側の二つの境界
一般的な規則では四分位数から二つの境界を作ります。下側はQ1 − 1.5 × IQR、上側はQ3 + 1.5 × IQRです。下より小さい値、上より大きい値が外れ値の候補です。四分位数を使うのには理由があります。外れ値は平均値や標準偏差を引っ張りますが、同じように境界を外へ引っ張ることはできません。
実験に戻りましょう。夜間クラスはQ1 = 78、Q3 = 89、IQR = 11なので、境界は78 − 1.5 × 11 = 61.5と89 + 1.5 × 11 = 105.5です。45の輪は61.5で消えます。45と25.5は61.5未満なので外れ値で、105.5を超える得点はありません。昼間クラスはIQRが26.5で境界は16.25と122.25なので、32も内側です。11人の給与ではQ1 = 40.5、Q3 = 69、IQR = 28.5で、上側の境界は69 + 42.75 = 111.75千ドルです。120,000ドルは外れ値候補です。13軒の住宅価格の上側の境界は1,159,375ドルで、5,500,000ドルは大きく外れ、1,095,000ドルは内側です。
低い二つの得点で平均値が4点以上下がる
夜間クラスを、二つの外れ値を含む場合と除いた場合で比べます。全22人では平均約79.05、中央値81、標準偏差約16.8です。45と25.5を除く20人では平均約83.43、中央値82、標準偏差約9.0です。平均は4点以上上がり、標準偏差はほぼ半減しますが、中央値は1だけです。給与も同じで、120,000ドルを除くと平均は約58,682ドルから52,550ドルへ下がり、中央値は54,000ドルのままです。
外れ値を見つけたら、まず85.5の代わりに25.5と入力したなどの間違いか調べます。誤りで修正できるなら直します。本当の値なら残して明記し、平均値と標準偏差に加えて、頑健な中央値とIQRも報告することを考えましょう。不都合だからと本物の値を消すと、データが伝える内容が変わります。この規則は注意の印で、最終判断ではありません。「外れ値候補」は「ここを調べよう」という意味です。
| 外れ値 | ほかのデータから異常に離れた値 |
| 下側の境界 | Q1 − 1.5 × IQR |
| 上側の境界 | Q3 + 1.5 × IQR |
| 外れ値を見つけたときの最初の手順 | 誤りか確かめ、自動的には削除しない |
- 夜間クラスはQ1 = 78、IQR = 11です。下側の境界はいくつですか。
- 夜間クラスはQ3 = 89、IQR = 11です。上側の境界はいくつですか。
- 夜間クラスの外れ値はいくつありますか。
- 給与はQ3 = 69、IQR = 28.5（千ドル）です。上側の境界はいくつですか。
- 住宅価格はQ3 = 649,000、IQR = 340,250です。上側の境界は何ドルですか。
- 1.5 × IQRの規則では、1,095,000ドルの住宅は外れ値ですか。
- はい
- いいえ、上側の境界未満です
- データ12、15、11、14、13、40の上側の境界はいくつですか（Q1 = 12、Q3 = 15）。
- 夜間クラスから二つの外れ値を除いた平均値を小数第2位まで求めてください。
- 夜間クラスから低い二つの外れ値を除くとき、最も変化が小さいのはどれですか。
- 平均値
- 標準偏差
- 中央値
- 範囲
- 85.5の入力ミスかもしれない25.5を見つけました。まず何をしますか。
- 削除する
- 元の記録を確認する
- 平均値に置き換える
- 無視する
- 中央値を起点に81 − 16.5 = 64.5、81 + 16.5 = 97.5と境界を作り、三つの98を外れ値にする。 境界の起点は中央値でなく四分位数です。Q1 = 78、Q3 = 89から61.5と105.5になり、98は十分内側です。
- 1.5を忘れて78 − 11 = 67、89 + 11 = 100とし、65も外れ値にする。 IQRを1.5倍してから引いたり足したりします。65は正しい下側の境界61.5より上なので、外側は45と25.5だけです。
- 平均給与約58,682ドルだけを、典型的な従業員の収入として示す。 120,000ドルという一つの給与で平均が上がっており、除くと52,550ドルです。外れ値候補があるときは、平均値とともに中央値54,000ドルも示しましょう。
- 境界はQ1 − 1.5 × IQRとQ3 + 1.5 × IQRです。外側の値は外れ値候補です。
- 外れ値は平均値と標準偏差を大きく動かしますが、中央値とIQRへの影響は小さくなります。
- 外れ値に誤りがないか調べ、本当の値を見栄えのために消さないでください。
このコースの出典 (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-01] 평균의 의미, 고려 사항 「평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다」; 중학교 1~3학년군 [9수04-01] 중앙값·최빈값과 대푯값 고르기, [9수04-07] 분산과 표준편차, [9수04-08] 상자그림으로 분포 비교, 용어 변량·대푯값·중앙값·최빈값·도수분포표·산포도·편차·분산·표준편차·사분위수·상자그림; 고등학교 확률과 통계 용어 표본평균·모평균·표본분산·표본표준편차와 기호 X̄, S², S, N(m, σ²); 실용 통계 [12실통02-04] 대푯값과 산포도 고르기)
- Middle-school variance as the mean of the squared deviations: EBS Math 중3 「분산과 표준편차」 (www.ebsmath.co.kr/resource/rscView?cate=123500&cate2=123510&cate3=123511&rscTpDscd=RTP10&grdCd=MGRD03&sno=24525&type=S, read 2026-10-19)
- Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 2.3 measures of location, quartiles as medians of the lower and upper halves, IQR, 1.5 × IQR outlier rule, 13 real estate prices, 11 salaries, day and evening class test scores (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-3-measures-of-the-location-of-the-data)
- 2.5 measures of the center (.../pages/2-5-measures-of-the-center-of-the-data)
- 2.6 skewness and the mean, median and mode, the three ten- and sixteen-value data sets (.../pages/2-6-skewness-and-the-mean-median-and-mode)
- 2.7 measures of the spread, sample standard deviation with n − 1 (.../pages/2-7-measures-of-the-spread-of-the-data)
- Trimmed mean only: Federal Reserve Bank of Dallas, Trimmed Mean PCE inflation rate (dallasfed.org/research/pce and /research/pce/descr)
確認日: 2026-10-17