Ausreißer und die 1.5 × IQR-Regel

Im OpenStax-Abendkurs kennzeichnet die 1.5 × IQR-Regel die Ergebnisse 45 und 25.5 als Ausreißer, weil beide unter 61.5 liegen.

Ist ein Ergebnis von 45 in diesem Kurs ungewöhnlich?

Beginne mit dem Labor unten. Es enthält die 22 Ergebnisse des OpenStax-Abendkurses, mit eingeschalteten Ausreißergrenzen. Schätze zuerst, ohne etwas anzufassen: Ist 45 ein Ausreißer? Und 25.5? Suche die roten Ringe. Ziehe dann 45 langsam nach oben und halte genau dann an, wenn der Ring verschwindet. Notiere den Wert. Der Rest der Seite erklärt die gerade gefundene Zahl.

Ein Ausreißer ist ein Wert, der ungewöhnlich weit von den übrigen Daten entfernt liegt. Dahinter können ein Tippfehler oder ein defekter Sensor stecken, aber auch ein echter wichtiger Fall: ein Haus, das eine Villa ist, oder ein Patient, der anders auf ein Medikament reagiert. OpenStax empfiehlt, Ausreißer genau anzusehen statt sie automatisch zu löschen. Dafür brauchst du zunächst eine nachvollziehbare Regel für „ungewöhnlich weit“.

Zwei Grenzen, jeweils 1.5 IQR jenseits eines Quartils

Die übliche Regel bildet zwei Grenzen aus den Quartilen. Die untere Grenze ist Q1 − 1.5 × IQR, die obere Q3 + 1.5 × IQR. Ein Wert unter der unteren oder über der oberen Grenze ist ein möglicher Ausreißer. Die Regel nutzt bewusst Quartile. Ausreißer können die Grenzen nicht so nach außen ziehen wie einen Mittelwert oder eine Standardabweichung.

Zurück zum Labor. Der Abendkurs hat Q1 = 78, Q3 = 89 und IQR = 11. Die Grenzen sind 78 − 1.5 × 11 = 61.5 und 89 + 1.5 × 11 = 105.5. Bei 61.5 verlor die 45 ihren Ring. Die Ergebnisse 45 und 25.5 liegen unter 61.5 und sind beide Ausreißer. Kein Ergebnis liegt über 105.5. Der Tageskurs mit IQR 26.5 hat Grenzen bei 16.25 und 122.25. Selbst seine 32er liegen darin. Für die 11 OpenStax-Gehälter gelten Q1 = 40.5, Q3 = 69 und IQR = 28.5. Die obere Grenze ist 69 + 42.75 = 111.75 Tausend Dollar. Das Gehalt von $120 000 ist ein möglicher Ausreißer. Für die 13 Hauspreise liegt die obere Grenze bei $1 159 375. Das Haus für $5 500 000 liegt weit außerhalb, das für $1 095 000 knapp innerhalb.

Zwei niedrige Ergebnisse kosten den Mittelwert mehr als 4 Punkte

Vergleiche den Abendkurs mit und ohne seine beiden Ausreißer. Mit allen 22 Ergebnissen beträgt der Mittelwert etwa 79.05, der Median 81 und die Standardabweichung etwa 16.8. Ohne 45 und 25.5 haben die verbleibenden 20 Ergebnisse einen Mittelwert von etwa 83.43, einen Median von 82 und eine Standardabweichung von etwa 9.0. Der Mittelwert stieg um mehr als 4 Punkte, die Standardabweichung halbierte sich fast, der Median wanderte nur um 1. Bei den Gehältern zeigt sich dasselbe: Ohne das Gehalt von $120 000 sinkt der Mittelwert von etwa $58 682 auf $52 550, während der Median bei $54 000 bleibt.

Was solltest du mit einem Ausreißer tun? Prüfe zuerst, ob ein Fehler vorliegt, etwa 25.5 statt 85.5. Lässt sich ein Fehler korrigieren, korrigiere ihn. Ist der Wert echt, behalte ihn und erkläre das. Nenne gegebenenfalls die robusten Maße Median und IQR neben Mittelwert und Standardabweichung. Echte Werte aus Bequemlichkeit zu löschen verändert die Aussage der Daten. Die Regel ist ein Hinweis, kein Urteil. „Möglicher Ausreißer“ bedeutet „Hier genauer hinsehen“.