Streuung messen

Der Tageskurs von OpenStax hat einen Interquartilsabstand von 26.5 Punkten, der Abendkurs nur von 11.

Eine Lehrkraft bewertet denselben Test in zwei kleinen Klassen. Die Ergebnisse sind erfunden. Klasse A erreicht 70, 75, 80, 85 und 90. Klasse B erreicht 60, 60, 80, 100 und 100. Beide Mittelwerte sind 80. Ein Bericht nur mit dem Mittelwert würde die Klassen gleich nennen. Das sind sie nicht. In Klasse A liegen alle Ergebnisse höchstens 10 Punkte von 80 entfernt. In Klasse B liegen vier der fünf Lernenden 20 Punkte entfernt, zwei darüber und zwei darunter. Die Lehrkraft braucht eine zweite Zahl für die Verteilung der Ergebnisse. Diese Einheit behandelt drei Streuungsmaße: Spannweite, Interquartilsabstand und Standardabweichung. Der Tages- und Abendkurs von OpenStax zeigen weiter unten denselben Effekt mit echten Daten.

Die Spannweite nutzt zwei Werte, Quartile die mittlere Hälfte

Die Spannweite ist der größte minus der kleinste Wert. Für die beiden erfundenen Klassen ergibt das 90 − 70 = 20 und 100 − 60 = 40. Einfach, aber abhängig von nur zwei Werten, die oft am wenigsten typisch sind. Quartile helfen weiter. Sortiere die Daten und bestimme den Median, auch Q2 genannt. Das erste Quartil Q1 ist der Median der unteren Hälfte, das dritte Quartil Q3 der Median der oberen Hälfte. Bei ungeradem n lässt OpenStax den Median selbst aus beiden Hälften heraus. Etwa ein Viertel der Daten liegt höchstens bei Q1 und etwa drei Viertel höchstens bei Q3. Der Interquartilsabstand IQR = Q3 − Q1 ist die Breite der mittleren Datenhälfte.

OpenStax vergleicht zwei echte Statistikkurse. Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung des Tageskurses lautet: Minimum 32, Q1 56, Median 74.5, Q3 82.5 und Maximum 99. Sein IQR ist also 82.5 − 56 = 26.5. Beim Abendkurs lauten die Werte 25.5, 78, 81, 89 und 98; sein IQR ist 89 − 78 = 11. Beide Spannweiten sind groß: 67 und 72.5. Die IQR-Werte erzählen etwas anderes: Die mittlere Hälfte des Abendkurses liegt viel enger zusammen. Ein Boxplot stellt diese fünf Zahlen dar. Die Box reicht von Q1 bis Q3, mit einer Linie am Median. Die Antennen reichen zum kleinsten und größten Wert.

Warum Abweichungen vor dem Mitteln quadriert werden

Die Standardabweichung nutzt jeden Wert. Beginne mit den Abweichungen vom Mittelwert. Sie zu addieren hilft nicht, da die Summe immer 0 ist. Quadriere sie daher zuerst, wodurch alle nichtnegativ werden. Mittle die Quadrate und ziehe die Quadratwurzel, um zur ursprünglichen Einheit zurückzukehren. Für eine Stichprobe teilt OpenStax die Quadratsumme durch n − 1 statt durch n. Das Ergebnis ist die Stichprobenstandardabweichung s. Für die Quizergebnisse 6, 8, 9, 7 und 10 (Mittelwert 8) sind die Abweichungen −2, 0, 1, −1, 2. Ihre Quadrate ergeben zusammen 10. Die Stichprobenvarianz ist 10 ÷ 4 = 2.5 und s = √2.5, etwa 1.58 Punkte. Teilen durch n liefert stattdessen den Wert der Grundgesamtheit σ = √2, etwa 1.41. Für die erfundenen Klassen beträgt s etwa 7.91 Punkte in Klasse A und genau 20 in Klasse B.

Eine grobe Deutung von s: Bei glockenförmigen Daten liegen etwa zwei Drittel der Werte höchstens eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt, etwa 95% höchstens zwei. Addierst du dieselbe Zahl zu allen Werten, ändern sich weder IQR noch s, weil alle gemeinsam wandern. Verdoppelst du alle Werte, verdoppeln sich beide Maße. Wie der Mittelwert ist s nicht robust. Ein Extremwert kann s stark erhöhen, während sich der IQR kaum ändert.