Spreiding meten

De dagklas van OpenStax heeft een interkwartielafstand van 26.5 punten, de avondklas slechts 11.

Een docent kijkt dezelfde toets na voor twee kleine klassen. De scores zijn verzonnen. Klas A haalt 70, 75, 80, 85 en 90. Klas B haalt 60, 60, 80, 100 en 100. Beide gemiddelden zijn 80. Met alleen het gemiddelde lijken de klassen identiek, maar dat zijn ze niet. In klas A ligt elke score hoogstens 10 punten van 80. In klas B liggen vier van de vijf leerlingen er 20 punten vandaan, twee erboven en twee eronder. De docent heeft een tweede getal nodig dat aangeeft hoe ver de scores uiteenliggen. In deze les leer je drie spreidingsmaten: de variatiebreedte, de interkwartielafstand en de standaardafwijking. Verderop zie je hetzelfde met echte gegevens van de dag- en avondklas van OpenStax.

De variatiebreedte gebruikt twee waarden, kwartielen de middelste helft

De variatiebreedte is de grootste waarde min de kleinste. Voor de twee verzonnen klassen is dat 90 − 70 = 20 en 100 − 60 = 40. Dat is eenvoudig, maar je gebruikt slechts twee waarden, die vaak het minst kenmerkend zijn. Met kwartielen krijg je een beter beeld. Sorteer de gegevens en bepaal de mediaan, ook Q2 genoemd. Het eerste kwartiel Q1 is de mediaan van de onderste helft en het derde kwartiel Q3 de mediaan van de bovenste helft. Bij een oneven n laat OpenStax de mediaan zelf uit beide helften weg. Ongeveer een kwart van de gegevens ligt op of onder Q1 en ongeveer drie kwart op of onder Q3. De interkwartielafstand, IQR = Q3 − Q1, is de breedte van de middelste helft van de gegevens.

OpenStax vergelijkt twee echte statistiekklassen. De vijfgetallensamenvatting van de dagklas is: minimum 32, Q1 56, mediaan 74.5, Q3 82.5 en maximum 99. De IQR is dus 82.5 − 56 = 26.5. Voor de avondklas zijn de getallen 25.5, 78, 81, 89 en 98, met een IQR van 89 − 78 = 11. Beide variatiebreedten zijn groot: 67 en 72.5. De IQR's laten iets anders zien: de middelste helft ligt bij de avondklas veel dichter bij elkaar. In een boxplot geef je deze vijf getallen weer. De doos loopt van Q1 tot Q3, met een lijn bij de mediaan. De snorharen lopen door tot de kleinste en grootste waarde.

Waarom je afwijkingen kwadrateert voordat je ze middelt

Voor de standaardafwijking gebruik je elke waarde. Begin met de afwijkingen van het gemiddelde. Optellen heeft geen zin, want de som is altijd 0. Kwadrateer de afwijkingen daarom eerst, zodat ze positief worden. Neem het gemiddelde van die kwadraten en trek de wortel om de oorspronkelijke eenheid terug te krijgen. Bij een steekproef deelt OpenStax de kwadratensom door n − 1 in plaats van n. Je krijgt dan de steekproefstandaardafwijking s. Bij de toetsscores 6, 8, 9, 7 en 10 (gemiddelde 8) zijn de afwijkingen −2, 0, 1, −1, 2. De kwadraten zijn samen 10, de steekproefvariantie is 10 ÷ 4 = 2.5 en s = √2.5, ongeveer 1.58 punten. Deel je door n, dan krijg je de populatiewaarde σ = √2, ongeveer 1.41. Voor de twee verzonnen klassen is s ongeveer 7.91 punten bij klas A en precies 20 bij klas B.

Een globale interpretatie van s: bij klokvormige gegevens ligt ongeveer twee derde van de waarden binnen één standaardafwijking van het gemiddelde en ongeveer 95% binnen twee. Tel bij elke waarde hetzelfde getal op en noch de IQR noch s verandert, want alle waarden verschuiven samen. Verdubbel elke waarde en beide verdubbelen. Net als het gemiddelde is s niet resistent. Eén extreme waarde kan s sterk vergroten, terwijl de IQR nauwelijks verandert.