Misurare la dispersione
Il corso diurno di OpenStax ha una differenza interquartile di 26.5 punti; quello serale solo 11.
Un insegnante corregge la stessa prova in due piccole classi. I voti sono inventati. La classe A ottiene 70, 75, 80, 85 e 90; la B ottiene 60, 60, 80, 100 e 100. Entrambe hanno media 80: un rapporto con la sola media le direbbe identiche. Non lo sono. In A ogni voto dista al massimo 10 punti da 80. In B quattro studenti su cinque distano 20 punti, due sopra e due sotto. Serve un secondo numero che descriva quanto sono sparsi i voti. Questa lezione presenta tre indici di dispersione: campo di variazione, differenza interquartile e deviazione standard. Più sotto, i corsi diurno e serale di OpenStax mostrano lo stesso fenomeno con dati reali.
Il campo usa due valori; i quartili la metà centrale
Il campo di variazione è il massimo meno il minimo. Nelle classi inventate vale 90 − 70 = 20 e 100 − 60 = 40. È facile, ma dipende solo da due valori, spesso i meno tipici. I quartili fanno meglio. Ordina i dati e trova la mediana, detta anche Q2. Il primo quartile Q1 è la mediana della metà inferiore e il terzo Q3 quella della metà superiore; con n dispari, OpenStax esclude la mediana da entrambe le metà. Circa un quarto dei dati è minore o uguale a Q1 e circa tre quarti a Q3. La differenza interquartile, IQR = Q3 − Q1, misura l'ampiezza della metà centrale.
OpenStax confronta due veri corsi di statistica. Quello diurno ha minimo 32, Q1 56, mediana 74.5, Q3 82.5 e massimo 99: IQR = 82.5 − 56 = 26.5. Quello serale ha 25.5, 78, 81, 89 e 98: IQR = 89 − 78 = 11. Entrambi i campi sono grandi, 67 e 72.5. Gli IQR raccontano altro: la metà centrale del corso serale è molto più concentrata. Un diagramma a scatola rappresenta questi cinque numeri. La scatola va da Q1 a Q3 con un segno sulla mediana; i baffi raggiungono minimo e massimo.
Perché elevare gli scarti al quadrato prima di farne la media
La deviazione standard usa ogni valore. Parti dagli scarti dalla media. Sommarli non serve: il totale è sempre 0. Elevali prima al quadrato, rendendoli non negativi, poi fai la media dei quadrati ed estrai la radice per tornare alle unità originali. Per un campione, OpenStax divide la somma dei quadrati per n − 1 anziché n: il risultato finale è la deviazione standard campionaria s. Per i voti 6, 8, 9, 7 e 10 (media 8), gli scarti sono −2, 0, 1, −1, 2. I quadrati sommano a 10; la varianza campionaria è 10 ÷ 4 = 2.5 e s = √2.5, circa 1.58 punti. Dividendo per n si ottiene invece il valore della popolazione σ = √2, circa 1.41. Nelle classi inventate, s è circa 7.91 punti per A ed esattamente 20 per B.
Per interpretare s: con dati a campana, circa due terzi dei valori distano dalla media al massimo una deviazione standard e circa il 95% al massimo due. Aggiungere lo stesso numero a tutti i valori non cambia IQR né s, perché i valori si spostano insieme. Raddoppiarli raddoppia entrambi gli indici. Come la media, s non è resistente: un estremo può aumentarla molto, mentre l'IQR cambia poco.
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| Campo di variazione | Massimo − minimo |
| Q1 e Q3 | Mediane delle metà inferiore e superiore |
| IQR | Q3 − Q1, ampiezza della metà centrale |
| Sintesi a cinque numeri | Min, Q1, mediana, Q3, max |
| Deviazione standard campionaria s | √(Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)) |
- Qual è il campo di variazione di 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9?
- Per 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, quanto vale Q1?
- Per 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, quanto vale Q3?
- IQR del corso diurno OpenStax (Q1 = 56, Q3 = 82.5)?
- IQR del corso serale (Q1 = 78, Q3 = 89)?
- Voti 6, 8, 9, 7, 10. Varianza campionaria (somma dei quadrati ÷ (n − 1))?
- Deviazione standard campionaria s di quei voti, con 2 decimali?
- Ogni voto raddoppia: 12, 16, 18, 14, 20. Quanto vale ora s, con 2 decimali?
- Ogni voto riceve 5 punti bonus. Che cosa succede alla deviazione standard?
- Aumenta di 5
- Resta uguale
- Raddoppia
- Diminuisce di 5
- Quale indice di dispersione risente meno di un valore estremo?
- Campo di variazione
- Deviazione standard
- IQR
- Sono tutti uguali
- Dire che due insiemi sono ugualmente dispersi perché hanno lo stesso campo: 1, 5, 5, 5, 9 e 1, 1, 5, 9, 9 hanno entrambi campo 8. Il campo vede solo i due estremi. Nel primo insieme tre valori coincidono con la media, 5; nel secondo quattro sono agli estremi. Gli IQR sono 4 e 8, e s è circa 2.83 contro esattamente 4.
- Sommare gli scarti per misurare la dispersione: per 2, 4, 6 sono −2, 0 e 2, quindi «la dispersione è 0». Gli scarti dalla media sommano a 0 per qualsiasi insieme. Ecco perché prima si elevano al quadrato. I quadrati 4, 0 e 4 sommano a 8.
- Fermarsi alla varianza: per 2, 4, 6 riportare 8 ÷ 2 = 4 come deviazione standard. 4 è la varianza campionaria, in unità al quadrato. Estrai la radice: s = 2, nelle stesse unità dei dati.
- Campo = max − min; semplice ma poco robusto.
- Q1, Q3 = mediane delle due metà; IQR = Q3 − Q1 è resistente.
- La deviazione standard campionaria s divide gli scarti quadratici per n − 1.
- Traslare i dati non cambia la dispersione; moltiplicarli la moltiplica.
Fonti di questo corso (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-01] 평균의 의미, 고려 사항 「평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다」; 중학교 1~3학년군 [9수04-01] 중앙값·최빈값과 대푯값 고르기, [9수04-07] 분산과 표준편차, [9수04-08] 상자그림으로 분포 비교, 용어 변량·대푯값·중앙값·최빈값·도수분포표·산포도·편차·분산·표준편차·사분위수·상자그림; 고등학교 확률과 통계 용어 표본평균·모평균·표본분산·표본표준편차와 기호 X̄, S², S, N(m, σ²); 실용 통계 [12실통02-04] 대푯값과 산포도 고르기)
- Middle-school variance as the mean of the squared deviations: EBS Math 중3 「분산과 표준편차」 (www.ebsmath.co.kr/resource/rscView?cate=123500&cate2=123510&cate3=123511&rscTpDscd=RTP10&grdCd=MGRD03&sno=24525&type=S, read 2026-10-19)
- Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 2.3 measures of location, quartiles as medians of the lower and upper halves, IQR, 1.5 × IQR outlier rule, 13 real estate prices, 11 salaries, day and evening class test scores (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-3-measures-of-the-location-of-the-data)
- 2.5 measures of the center (.../pages/2-5-measures-of-the-center-of-the-data)
- 2.6 skewness and the mean, median and mode, the three ten- and sixteen-value data sets (.../pages/2-6-skewness-and-the-mean-median-and-mode)
- 2.7 measures of the spread, sample standard deviation with n − 1 (.../pages/2-7-measures-of-the-spread-of-the-data)
- Trimmed mean only: Federal Reserve Bank of Dallas, Trimmed Mean PCE inflation rate (dallasfed.org/research/pce and /research/pce/descr)
Consultato il: 2026-10-17