Scegliere l'indice adatto

Tra i 13 prezzi di case di OpenStax, una casa da $5 500 000 porta la media a circa $865 015, mentre la mediana resta $488 800.

Nove attese dell'autobus: quante superano la media?

Prova prima di continuare. Uno studente misura nove attese alla stessa fermata, in minuti: 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7 e 40. I numeri sono inventati; il 40 corrisponde al giorno in cui un autobus si è guastato. Qual è la media e in quanti giorni l'attesa l'ha superata? Il totale è 80 minuti, quindi la media è 80 ÷ 9, circa 8.9 minuti. Solo l'attesa di 40 è più lunga. Otto su nove sono durate al massimo 7 minuti. La mediana, il 5° valore, è 5 minuti. Un amico ti chiede quanto si aspetta di solito. Quale numero gli dai?

Le notizie su prezzi delle case e redditi riportano quasi sempre la mediana. Le pagelle riportano medie. Non è una questione di gusto: ogni indice reagisce diversamente alla forma dei dati e la scelta dipende da ciò che vuoi descrivere.

Una casa da $5500000 sposta la media di quasi $400000

Con le case succede lo stesso, ma con numeri maggiori. OpenStax elenca 13 prezzi da $114950 a $5500000. Il 7° prezzo ordinato è $488800, la mediana. La media è il totale, $11245200, diviso per 13: circa $865015. Solo due delle 13 case costano più della media. Escludendo quella da $5500000, la media delle altre 12 scende a circa $478767. La mediana, $483900, cambia pochissimo. Un solo valore estremo ha spostato la media di quasi $400000 e la mediana di circa $5000.

Gli statistici dicono che la mediana è resistente, la media no. La media usa la grandezza di ogni valore, quindi risente degli estremi. La mediana usa solo l'ordine: quanto siano lontani gli estremi non conta. Nei dati asimmetrici, con una lunga coda da un lato, la media è trascinata verso la coda: sopra la mediana con coda destra, sotto con coda sinistra. Le attese hanno una coda destra: per questo la media di circa 8.9 minuti supera la mediana di 5 minuti.

Per i totali serve la media; per le code lunghe, la mediana

Usa la media se i dati sono circa simmetrici, senza valori estremi, e se conta il totale. A un insegnante che vuole sapere se la classe è migliorata nel complesso serve la media. Lo stesso vale per un negozio che stima le vendite totali dalla spesa media: media × n restituisce il totale. Usa la mediana per dati asimmetrici come redditi, prezzi delle case, tempi d'attesa o età al primo acquisto di una casa, dove pochi valori molto grandi renderebbero la media poco rappresentativa. Usa la moda per le categorie o se ti serve il valore più comune. Un negozio di scarpe ordina la taglia più comune, non quella media.

Spesso la scelta più trasparente è riportarle entrambe. Se lo stipendio medio di un'azienda supera molto quello mediano, la differenza è già una notizia: poche persone guadagnano molto più delle altre. La media troncata è una via intermedia. Esclude una quota fissa dei valori più alti e più bassi prima di calcolare la media; si usa in alcune valutazioni sportive e nelle statistiche economiche.

Attenzione quando una pubblicità o un rapporto dice soltanto «valore medio». Può riferirsi a media, mediana o moda, e chi vende può scegliere quella più favorevole. «Il cliente medio risparmia $300» potrebbe essere una media alzata da pochi grandi risparmi, mentre il cliente mediano risparmia molto meno. Se l'indice non è dichiarato, è giusto chiedere quale sia e su quanti valori sia calcolato.