알맞은 대푯값 고르기

OpenStax의 집값 13개에서 550만 달러짜리 집 하나가 평균을 약 865,015달러로 끌어올리지만, 중앙값은 488,800달러 그대로입니다.

버스를 아홉 번 기다린 시간, 평균보다 오래 기다린 날은 며칠일까요

읽기 전에 먼저 풀어 보세요. 어느 학생이 같은 정류장에서 버스를 아홉 번 기다린 시간이 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 40분이었다고 합시다. 지어낸 예이고, 40분은 버스가 고장 난 날입니다. 평균은 몇 분이고, 평균보다 오래 기다린 날은 며칠일까요? 합이 80분이므로 평균은 80 ÷ 9, 약 8.9분입니다. 그런데 이보다 오래 기다린 날은 40분짜리 하루뿐이고, 아홉 번 가운데 여덟 번은 7분 이하였습니다. 5번째 값인 중앙값은 5분입니다. 친구가 「그 버스 보통 얼마나 기다려?」라고 묻는다면 어느 수로 답하시겠어요?

집값이나 소득을 다루는 기사는 대개 중앙값을 쓰고, 학교 성적표는 평균을 씁니다. 취향의 문제가 아닙니다. 대푯값마다 자료의 모양에 반응하는 방식이 다르고, 무엇을 나타내고 싶은지에 따라 알맞은 대푯값이 달라집니다. 기사에서 「중위」라는 말이 보이면 중앙값을 뜻합니다.

550만 달러짜리 집 한 채가 평균을 40만 달러 가까이 옮깁니다

집값에서도 같은 일이 더 큰 숫자로 일어납니다. OpenStax 교재에는 114,950달러부터 550만 달러까지 집값 13개가 나옵니다. 정렬하면 7번째가 488,800달러이므로 이것이 중앙값입니다. 평균은 합계 11,245,200달러를 13으로 나눈 약 865,015달러인데, 13채 가운데 이보다 비싼 집은 두 채뿐입니다. 나머지 11채가 평균보다 싸니, 이 평균 집값은 「보통 집값」과 거리가 멉니다. 550만 달러짜리 집을 빼면 나머지 12채의 평균은 약 478,767달러로 떨어지지만 중앙값은 483,900달러로 거의 그대로입니다. 맨 끝의 값 하나가 평균은 40만 달러 가까이 옮겼고, 중앙값은 약 5,000달러만 옮겼습니다.

통계에서는 이런 중앙값을 저항성이 있다고 하고, 평균은 저항성이 없다고 합니다. 평균은 모든 변량의 크기를 계산에 넣으니 극단적인 값에 끌려갑니다. 중앙값은 순서만 보므로 맨 끝 값이 얼마나 멀리 있든 상관하지 않습니다. 자료가 한쪽으로 긴 꼬리를 끌며 치우쳐 있으면 평균은 꼬리 쪽으로 끌려갑니다. 오른쪽 꼬리가 길면 평균이 중앙값보다 크고, 왼쪽 꼬리가 길면 평균이 중앙값보다 작습니다. 앞의 버스 대기 시간도 오른쪽 꼬리가 긴 자료라서 평균 약 8.9분이 중앙값 5분보다 큽니다.

합계가 필요하면 평균, 꼬리가 길면 중앙값

자료가 대체로 대칭이고 극단적인 값이 없을 때, 그리고 합계가 중요할 때는 평균을 씁니다. 반 전체 성적이 나아졌는지 보려는 선생님이나 1인당 평균 지출로 전체 매출을 계획하는 가게에는 평균이 필요합니다. 평균 × n이 바로 합계이기 때문입니다. 소득, 집값, 대기 시간, 처음 집을 사는 나이처럼 아주 큰 값 몇 개가 섞인 치우친 자료에는 중앙값을 씁니다. 이런 자료에서 평균은 거의 아무도 대표하지 못합니다. 범주로 된 자료이거나 가장 흔한 값 하나가 필요하면 최빈값을 씁니다. 신발 가게는 평균 치수가 아니라 가장 많이 팔리는 치수를 가장 많이 들여놓습니다. 급식 우유를 몇 개 주문할지처럼 합계가 필요한 문제는 평균으로, 「이 정류장에서 보통 몇 분 기다리나」처럼 한 사람이 흔히 겪는 값을 묻는 문제는 중앙값으로 답하는 편이 맞습니다.

두 값을 함께 알려 주는 편이 정직할 때가 많습니다. 어느 회사의 평균 연봉이 중앙값보다 훨씬 높다면 그 차이 자체가 소식입니다. 몇몇 사람이 나머지보다 훨씬 많이 번다는 뜻이기 때문입니다. 절사 평균은 그 중간쯤 되는 방법입니다. 가장 높은 값과 가장 낮은 값을 정해진 비율만큼 덜어 낸 뒤 평균을 내며, 일부 스포츠 채점과 경제 통계에서 실제로 씁니다. 물가 통계에서는 가격이 유난히 많이 오르거나 내린 품목을 일정 비율 덜어 내고 평균을 내기도 합니다.

광고나 보고서가 그냥 「평균」이라고만 쓸 때는 조심하세요. 이 말은 평균, 중앙값, 최빈값 어느 것이든 될 수 있고, 파는 쪽은 가장 좋아 보이는 것을 고를 수 있습니다. 「고객이 평균 300달러를 아낀다」는 크게 아낀 몇 사람이 끌어올린 평균일 수 있고, 중앙값에 해당하는 고객은 훨씬 적게 아꼈을지도 모릅니다. 어떤 대푯값인지 밝히지 않았다면 어느 값인지, 값 몇 개로 낸 것인지 물어볼 만합니다.