중앙값과 최빈값

OpenStax 예제의 연봉 11개를 크기순으로 놓으면 6번째가 54,000달러입니다. 아래로 5개, 위로 5개가 있으므로 이것이 중앙값입니다.

3, 9, 4, 7, 5의 중앙값은 한가운데 적힌 4일까요

3, 9, 4, 7, 5를 보면 가운데 자리에 4가 적혀 있습니다. 이 4를 중앙값이라고 하기 쉽지만 틀린 답입니다. 크기순으로 늘어놓으면 3, 4, 5, 7, 9가 되고, 이제 한가운데에는 5가 옵니다. 수를 받아 적은 순서는 크기와 아무 관계가 없습니다. 그래서 중앙값을 구할 때는 언제나 정렬부터 합니다.

평균 말고도 자료의 가운데를 나타내는 값이 두 가지 더 있습니다. 중앙값은 변량을 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 오는 값이라서, 변량의 절반은 중앙값 이하이고 나머지 절반은 중앙값 이상입니다. 최빈값은 자료에서 가장 많이 나오는 값입니다. 평균, 중앙값, 최빈값처럼 자료 전체를 대표하는 값을 대푯값이라고 합니다. 세 대푯값은 저마다 다른 질문에 답합니다.

값이 5개면 가운데가 하나, 4개면 둘입니다

정렬한 뒤 변량의 개수 n이 홀수이면 (n + 1) ÷ 2번째 값이 중앙값입니다. 3, 9, 4, 7, 5를 정렬한 3, 4, 5, 7, 9는 n = 5이므로 3번째 값 5가 중앙값입니다. n이 짝수이면 한가운데 값이 하나로 정해지지 않습니다. 이때는 가운데 두 값의 평균을 중앙값으로 씁니다. 2, 4, 6, 8에서 가운데 두 값은 4와 6이니 중앙값은 5이고, 이 5는 자료에 없는 수입니다. 우리 반 친구 다섯 명의 일주일 용돈이 1만, 3만, 2만, 10만, 2만 원이라면(지어낸 예) 정렬한 1만, 2만, 2만, 3만, 10만 원의 3번째 값 2만 원이 중앙값입니다. 평균은 18만 ÷ 5 = 3만 6천 원이라서 다섯 명 가운데 네 명이 평균보다 적게 받습니다.

OpenStax 교재에는 연봉 11개가 나옵니다. 천 달러 단위로 정렬하면 28, 33, 40.5, 42, 54, 54, 64.5, 68.5, 69, 72, 120입니다. n = 11이니 (11 + 1) ÷ 2 = 6번째 값 54가 중앙값이고, 연봉의 중앙값은 54,000달러입니다. 가장 높은 연봉 120을 1,200으로 바꿔도 6번째 값은 그대로 54입니다. 중앙값은 꿈쩍도 하지 않습니다. 이렇게 잘 흔들리지 않는 성질이 중앙값의 가장 큰 장점이고, 다음 단원에서 이 성질을 다시 씁니다.

도수분포표에서도 중앙값을 구할 수 있습니다. 변량이 16개인 대칭 자료라면 중앙값은 8번째와 9번째 값 사이에 있습니다. 표를 위에서부터 세어 내려가면 1~5번째가 4, 5, 6, 6, 6이고 6~11번째가 7 여섯 개입니다. 8번째와 9번째가 둘 다 7이니 중앙값은 7입니다. 16개를 모두 적지 않아도 도수를 차례로 더해 가며 세면 충분합니다.

7이 여섯 번 나오니 최빈값은 7입니다

최빈값은 세어서 찾습니다. OpenStax 교재의 대칭 자료 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10에서는 7이 여섯 번으로 가장 많이 나오므로 최빈값이 7입니다. 1, 2, 2, 3, 4, 4처럼 2와 4가 두 번씩 나오면 최빈값은 2와 4 두 개이고, 모든 값이 한 번씩만 나오면 최빈값이 없습니다. 수가 아닌 자료에 쓸 수 있는 대푯값은 최빈값뿐입니다. 반 친구들에게 좋아하는 급식 메뉴를 물었더니 「떡볶이, 카레, 카레, 김밥」이 나왔다고 해 봅시다(지어낸 예). 이 답들의 평균은 낼 수 없지만, 가장 많이 나온 답이 카레라고는 말할 수 있습니다.

대칭 자료에서는 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 7입니다. 왼쪽으로 꼬리가 긴 자료 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8은 다릅니다. OpenStax 교재는 평균 6.3, 중앙값 6.5, 최빈값 7을 제시하는데, 왼쪽의 긴 꼬리가 세 값 가운데 평균을 가장 많이 끌어내렸기 때문입니다. 오른쪽으로 꼬리가 긴 자료에서는 순서가 뒤집혀 최빈값 7, 중앙값 7.5, 평균 7.7이 됩니다. 평균과 중앙값이 얼마나 벌어져 있는지만 봐도 자료의 모양을 짐작할 수 있습니다.