Медиана и мода

Из 11 зарплат в примере OpenStax 6-я по порядку равна $54 000: пять ниже и пять выше, поэтому она является медианой.

Медиана чисел 3, 9, 4, 7, 5: это число посередине?

Посмотри на 3, 9, 4, 7, 5. Посередине записана 4, и хочется назвать её медианой. Но это неверно. Упорядочь список: получится 3, 4, 5, 7, 9, где посередине 5. Случайный порядок записи ничего не говорит о величине чисел. Сначала всегда нужно упорядочить данные.

Среднее арифметическое описывает центр набора данных. Ещё два столь же распространённых показателя отвечают на другие вопросы. Медиана является серединным значением упорядоченных данных: половина значений не больше неё, половина не меньше. Мода является самым частым значением. Вместе со средним это меры центральной тенденции.

У пяти значений одна середина, у четырёх две

Сначала упорядочь данные. При нечётном числе значений n медиана занимает позицию (n + 1) ÷ 2. Числа 3, 9, 4, 7, 5 упорядочиваются в 3, 4, 5, 7, 9; n = 5, медиана является 3-м значением, то есть 5. При чётном количестве одной середины нет. Возьми среднее двух серединных значений. Для 2, 4, 6, 8 это 4 и 6, поэтому медиана 5, хотя такого числа в списке нет.

OpenStax приводит 11 зарплат в тысячах долларов. По порядку: 28, 33, 40.5, 42, 54, 54, 64.5, 68.5, 69, 72 и 120. Значение на 6-м месте равно 54, поэтому медианная зарплата $54,000. Теперь замени наибольшую зарплату 120 на 1200. Медиана не изменится. На 6-м месте по-прежнему 54. Эта устойчивость является главным достоинством медианы; на ней строится следующий урок.

Медиану можно найти и по таблице частот. В симметричном наборе из 16 значений она лежит между позициями 8 и 9. Посчитай по таблице: позиции с 1 по 5 занимают 4, 5, 6, 6 и 6; позиции с 6 по 11 занимают шесть 7. И 8-е, и 9-е значения равны 7, значит, медиана 7. Достаточно накапливать частоты, выписывать все 16 чисел не нужно.

Семёрка встречается шесть раз, поэтому мода равна 7

Моду находят подсчётом. В симметричном наборе OpenStax 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10 значение 7 встречается шесть раз, чаще остальных. Мод может быть две: в 1, 2, 2, 3, 4, 4 числа 2 и 4 встречаются по два раза. Такой набор называется бимодальным. Моды может и не быть, если каждое значение встречается ровно один раз. Только мода подходит для категорий. Нельзя вычислить среднее «красный, синий, синий, зелёный». Зато можно сказать, что синий встречается чаще всего.

В симметричном наборе среднее, медиана и мода равны 7. Набор с левой асимметрией 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8 устроен иначе. OpenStax даёт среднее 6.3, медиану 6.5 и моду 7: длинный левый хвост сильнее всего тянет вниз среднее. При правой асимметрии порядок обратный: мода 7, медиана 7.5, среднее 7.7. Разница между средним и медианой позволяет быстро судить о форме данных.