Mediaan en modus

Van de 11 salarissen in een voorbeeld van OpenStax is het 6e in de gesorteerde lijst $54 000. Er liggen vijf salarissen onder en vijf boven, dus dit is de mediaan.

Is de mediaan van 3, 9, 4, 7, 5 het getal in het midden?

Bekijk 3, 9, 4, 7, 5. Het middelste getal in deze lijst is 4. Je zou dat de mediaan kunnen noemen, maar dat klopt niet. Na sorteren krijg je 3, 4, 5, 7, 9, met 5 in het midden. De toevallige volgorde waarin iemand getallen opschrijft zegt niets over hun grootte. Je moet altijd eerst sorteren.

Met het gemiddelde beschrijf je het midden van een gegevensverzameling. Twee andere veelgebruikte maten beantwoorden elk een andere vraag. De mediaan is de middelste waarde nadat je de gegevens hebt gesorteerd: de helft ligt op of onder die waarde en de helft erop of erboven. De modus is de waarde die het vaakst voorkomt. Samen met het gemiddelde heten dit centrummaten.

Bij vijf waarden is er één middelste, bij vier zijn er twee

Sorteer eerst. Bij een oneven aantal waarden n staat de mediaan op plaats (n + 1) ÷ 2. Sorteer 3, 9, 4, 7, 5 tot 3, 4, 5, 7, 9: n = 5 en de mediaan is de 3e waarde, 5. Bij een even aantal is er geen enkele middelste waarde. Neem dan het gemiddelde van de twee middelste waarden. Bij 2, 4, 6, 8 zijn dat 4 en 6. De mediaan is dus 5, een getal dat niet eens in de lijst staat.

OpenStax geeft 11 salarissen in duizenden dollars. Na sorteren: 28, 33, 40.5, 42, 54, 54, 64.5, 68.5, 69, 72 en 120. De 6e waarde is 54, dus het mediane salaris is $54 000. Verander nu het hoogste salaris van 120 naar 1200. De mediaan verandert niet. De 6e waarde is nog steeds 54. Die ongevoeligheid is de grote kracht van de mediaan. Daarover gaat de volgende les.

Je kunt de mediaan ook uit een frequentietabel halen. Bij de symmetrische verzameling van 16 waarden ligt de mediaan tussen plaats 8 en 9. Tel in de tabel door. Op plaats 1 tot en met 5 staan 4, 5, 6, 6 en 6. Op plaats 6 tot en met 11 staan de zes 7's. Zowel de 8e als de 9e waarde is 7, dus de mediaan is 7. Houd alleen de opgetelde frequenties bij. Je hoeft niet alle 16 getallen uit te schrijven.

Zeven komt zes keer voor, dus de modus is 7

De modus vind je door te tellen. In de symmetrische OpenStax-verzameling 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10 komt 7 zes keer voor, vaker dan elke andere waarde. Een verzameling kan twee modi hebben, zoals 1, 2, 2, 3, 4, 4: zowel 2 als 4 komt twee keer voor. Dat heet bimodaal. Een verzameling kan ook geen modus hebben, wanneer elke waarde precies één keer voorkomt. De modus is de enige centrummaat die je voor categorieën kunt gebruiken. Je kunt niet het gemiddelde van ‘rood, blauw, blauw, groen’ berekenen. Wel kun je zeggen dat blauw het vaakste antwoord is.

In de symmetrische verzameling zijn gemiddelde, mediaan en modus allemaal 7. Dat is anders bij de linksscheve verzameling 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8. OpenStax geeft een gemiddelde van 6.3, een mediaan van 6.5 en een modus van 7: de lange linkerstaart trekt vooral het gemiddelde omlaag. Bij de rechtsscheve verzameling is de volgorde omgekeerd: modus 7, mediaan 7.5, gemiddelde 7.7. Het verschil tussen gemiddelde en mediaan geeft dus snel een aanwijzing over de vorm van de verdeling.