Median und Modalwert

Von 11 Gehältern eines OpenStax-Beispiels beträgt das 6. in sortierter Reihenfolge $54 000. Fünf liegen darunter, fünf darüber: Es ist der Median.

Ist der Median von 3, 9, 4, 7, 5 die Zahl in der Mitte?

Betrachte 3, 9, 4, 7, 5. In der Mitte steht 4, und man könnte sie vorschnell für den Median halten. Das stimmt nicht. Sortiert lautet die Liste 3, 4, 5, 7, 9, mit 5 in der Mitte. Die zufällige Schreibreihenfolge sagt nichts über die Größe der Zahlen. Sortieren kommt immer zuerst.

Der Mittelwert beschreibt die Mitte eines Datensatzes auf eine bestimmte Weise. Zwei weitere ebenso gebräuchliche Maße beantworten andere Fragen. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten: Eine Hälfte liegt höchstens so hoch, die andere mindestens so hoch. Der Modalwert ist der häufigste Wert. Zusammen mit dem Mittelwert gehören sie zu den Lagemaßen.

Fünf Werte haben eine Mitte, vier Werte haben zwei

Sortiere zuerst. Bei einer ungeraden Anzahl n steht der Median an Position (n + 1) ÷ 2. Für 3, 9, 4, 7, 5, sortiert als 3, 4, 5, 7, 9, gilt n = 5. Der Median ist der 3. Wert, also 5. Bei gerader Anzahl gibt es keinen einzelnen mittleren Wert. Bilde stattdessen den Mittelwert der beiden mittleren Werte. Für 2, 4, 6, 8 sind das 4 und 6. Der Median ist also 5, obwohl diese Zahl gar nicht in der Liste vorkommt.

OpenStax führt 11 Gehälter in Tausend Dollar auf. Sortiert lauten sie 28, 33, 40.5, 42, 54, 54, 64.5, 68.5, 69, 72 und 120. Der 6. Wert ist 54, also beträgt das Mediangehalt $54 000. Erhöhe nun das höchste Gehalt von 120 auf 1200. Der Median ändert sich nicht. Der 6. Wert bleibt 54. Diese Beständigkeit ist seine wichtigste Stärke, auf die die nächste Einheit aufbaut.

Auch Häufigkeitstabellen eignen sich für den Median. Im symmetrischen Datensatz mit 16 Werten liegt er zwischen Position 8 und 9. Zähle die Tabelle entlang: Auf Position 1 bis 5 stehen 4, 5, 6, 6 und 6; auf Position 6 bis 11 die sechs 7er. Sowohl der 8. als auch der 9. Wert ist 7, also ist der Median 7. Die Häufigkeiten fortlaufend zu summieren reicht aus. Du musst nicht alle 16 Zahlen ausschreiben.

Sieben kommt sechsmal vor, also ist der Modalwert 7

Den Modalwert findest du durch Zählen. Im symmetrischen OpenStax-Datensatz 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10 kommt 7 sechsmal vor, häufiger als jeder andere Wert. Ein Datensatz kann zwei Modalwerte besitzen, etwa 1, 2, 2, 3, 4, 4, wo 2 und 4 je zweimal vorkommen. Man nennt ihn bimodal. Er kann auch keinen Modalwert haben, wenn jeder Wert genau einmal vorkommt. Der Modalwert ist das einzige Lagemaß, das auch für Kategorien funktioniert. „Rot, blau, blau, grün“ lässt sich nicht mitteln. Du kannst aber sagen, dass Blau die häufigste Antwort ist.

Im symmetrischen Datensatz sind Mittelwert, Median und Modalwert jeweils 7. Beim linksschiefen Datensatz 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8 ist das anders. OpenStax nennt den Mittelwert 6.3, den Median 6.5 und den Modalwert 7, weil der lange linke Ausläufer den Mittelwert am stärksten nach unten zieht. Beim rechtsschiefen Datensatz kehrt sich die Reihenfolge um: Modalwert 7, Median 7.5, Mittelwert 7.7. Der Abstand zwischen Mittelwert und Median gibt also einen schnellen Hinweis auf die Verteilungsform.