Médiane et mode

Dans un exemple d'OpenStax comprenant 11 salaires, le 6e dans l'ordre vaut 54 000 $ : cinq sont plus bas et cinq plus hauts. C'est donc la médiane.

La médiane de 3, 9, 4, 7, 5 est-elle le nombre écrit au milieu ?

Regarde 3, 9, 4, 7, 5. Le nombre écrit au milieu est 4, et l'on serait tenté d'en faire la médiane. Ce n'est pas le cas. Range la liste : tu obtiens 3, 4, 5, 7, 9, avec 5 au milieu. L'ordre dans lequel on a noté les nombres ne dit rien de leur grandeur. Il faut toujours commencer par les trier.

La moyenne est une façon de décrire le centre d'une série. Deux autres indicateurs sont tout aussi courants et répondent chacun à une question différente. La médiane est la valeur centrale des données ordonnées : la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, l'autre moitié supérieures ou égales. Le mode est la valeur la plus fréquente. Avec la moyenne, ce sont des indicateurs de position centrale.

Cinq valeurs ont un seul milieu ; quatre en ont deux

Commence par trier. Pour un effectif impair n, la médiane occupe le rang (n + 1) ÷ 2. La série 3, 9, 4, 7, 5 devient 3, 4, 5, 7, 9 : n = 5 et la médiane est la 3e valeur, soit 5. Un effectif pair n'a pas de valeur centrale unique. On prend alors la moyenne des deux valeurs centrales. Pour 2, 4, 6, 8, ce sont 4 et 6 : la médiane vaut donc 5, un nombre absent de la liste.

OpenStax donne 11 salaires en milliers de dollars. Rangés dans l'ordre, ils valent 28, 33, 40.5, 42, 54, 54, 64.5, 68.5, 69, 72 et 120. La 6e valeur est 54, donc le salaire médian est 54 000 $. Remplace maintenant le plus haut salaire, 120, par 1200. La médiane ne bouge pas. La 6e valeur reste 54. Cette stabilité est sa principale force, sur laquelle s'appuie la prochaine leçon.

Les tableaux d'effectifs permettent aussi de trouver la médiane. Dans la série symétrique de 16 valeurs, elle se situe entre les rangs 8 et 9. Parcours le tableau en cumulant les effectifs. Les rangs 1 à 5 contiennent 4, 5, 6, 6 et 6 ; les rangs 6 à 11 sont occupés par les six 7. La 8e et la 9e valeur valent toutes deux 7 : la médiane est donc 7. Il suffit de cumuler les effectifs, sans écrire les 16 nombres.

Sept apparaît six fois : le mode est donc 7

Pour trouver le mode, on compte. Dans la série symétrique d'OpenStax 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, la valeur 7 apparaît six fois, plus que toute autre. Une série peut avoir deux modes : dans 1, 2, 2, 3, 4, 4, les valeurs 2 et 4 apparaissent chacune deux fois. La série est alors bimodale. Elle peut aussi n'avoir aucun mode, lorsque chaque valeur apparaît exactement une fois. Le mode est le seul indicateur de position centrale qui convient à des catégories. On ne peut pas calculer la moyenne de « rouge, bleu, bleu, vert ». On peut dire que bleu est la réponse la plus fréquente.

Dans la série symétrique, moyenne, médiane et mode valent tous 7. La série asymétrique à gauche 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8 est différente. OpenStax donne une moyenne de 6.3, une médiane de 6.5 et un mode de 7 : la longue queue à gauche tire surtout la moyenne vers le bas. Pour la série asymétrique à droite, l'ordre s'inverse : mode 7, médiane 7.5, moyenne 7.7. L'écart entre moyenne et médiane renseigne donc rapidement sur la forme des données.