La moyenne, un point d'équilibre

Les cinq notes 6, 8, 9, 7 et 10 ont pour somme 40, donc leur moyenne est 40 ÷ 5 = 8.

Cinq amis mettent leur argent de poche en commun

Cette semaine, cinq amis reçoivent des sommes différentes. Ces montants sont fictifs : 6 $, 8 $, 9 $, 7 $ et 10 $. Ils réunissent le tout dans un pot, soit 40 $, puis partagent à parts égales. Chacun repart avec 8 $. Cette part est la moyenne. Un seul des cinq avait exactement 8 $ au départ, mais personne n'y voit d'inconvénient.

Quand on parle de « moyenne », on désigne presque toujours cette moyenne arithmétique. Additionne les valeurs, puis divise par leur nombre. Les notes 6, 8, 9, 7 et 10 se traitent comme l'argent de poche : la somme est 40, il y a 5 notes, et la moyenne vaut 40 ÷ 5 = 8. Les ouvrages de statistique notent la moyenne d'un échantillon x̄ (« x barre ») et celle d'une population entière μ, la lettre grecque mu. Le calcul est identique : x̄ = (somme des valeurs) ÷ n.

Les écarts à 8 ont une somme nulle

Place maintenant les notes sur une règle. Chacune est représentée par une pièce de même poids, posée sur sa graduation. Où la règle tient-elle en équilibre ? À la moyenne. Pour le vérifier, calcule les écarts : la différence signée entre chaque valeur et la moyenne. Pour ces notes, ils valent −2, 0, +1, −1 et +2. Leur somme est exactement 0. C'est vrai pour toute série : les valeurs inférieures à la moyenne compensent exactement les valeurs supérieures. Les valeurs éloignées pèsent davantage dans cet équilibre : une seule valeur extrême peut donc déplacer fortement la moyenne.

Quatre entiers, une moyenne de 2.5

La moyenne n'est pas forcément une valeur de la série. Celle de 1, 2, 3 et 4 est 2.5. Le nombre moyen d'enfants par famille peut être 1.8, même si aucune famille n'a 1.8 enfant. Si tu ajoutes la même quantité à chaque valeur, la moyenne augmente d'autant ; si tu doubles chaque valeur, elle double aussi. Modifier une seule valeur de d modifie la moyenne de d ÷ n. Dans une série de 5 valeurs, augmenter une note de 5 points fait monter la moyenne de 1.

Puisque la moyenne dépend du total, on peut remonter le calcul. Quatre contrôles ont une moyenne de 80 ? Leur total vaut donc 320. Pour obtenir une moyenne de 82 sur cinq contrôles, il faut un total de 410 : la cinquième note doit être 410 − 320 = 90. Certaines notes comptent davantage que d'autres. On utilise alors une moyenne pondérée : multiplier chaque valeur par son poids, additionner, puis diviser par la somme des poids. Si les devoirs notés 80 comptent pour 60% et l'examen noté 90 pour 40%, la note finale est 0.6 × 80 + 0.4 × 90 = 84.

Les données sont souvent présentées dans un tableau d'effectifs plutôt que dans une liste. Multiplie chaque valeur par son effectif, additionne les produits et divise par l'effectif total. La série symétrique d'OpenStax contient un 4, un 5, trois 6, six 7, trois 8, un 9 et un 10. La somme des produits vaut 4 + 5 + 18 + 42 + 24 + 9 + 10 = 112. L'effectif total est 16. La moyenne vaut donc 112 ÷ 16 = 7. C'est encore une moyenne pondérée, dont les poids sont les effectifs.