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La media come punto di equilibrio

Cinque voti, 6, 8, 9, 7 e 10, sommano a 40: la media è 40 ÷ 5 = 8.

Cinque amici mettono insieme la paghetta

Questa settimana cinque amici ricevono paghette diverse. I numeri sono inventati: $6, $8, $9, $7 e $10. Mettono tutto in un barattolo, $40 in totale, e dividono in parti uguali. Ognuno porta a casa $8. Quella quota è la media. Solo uno aveva esattamente $8 all'inizio, ma non è un problema.

Quando si parla di «media», quasi sempre si intende la media aritmetica. Somma i valori, poi dividi per quanti sono. I voti 6, 8, 9, 7 e 10 funzionano come le paghette: il totale è 40, i voti sono 5 e la media è 40 ÷ 5 = 8. I manuali indicano la media campionaria con x̄ («x segnato») e la media di un'intera popolazione con μ, la lettera greca mu. Il procedimento è uguale: x̄ = (somma dei valori) ÷ n.

Gli scarti da 8 sommano a zero

Disponi i voti su un righello, come monete dello stesso peso poste sui rispettivi numeri. Dove resta in equilibrio? Sulla media. Puoi verificarlo con gli scarti: la distanza con segno di ogni valore dalla media. Per questi voti sono −2, 0, +1, −1 e +2. La somma è esattamente 0. Succede in ogni insieme di dati, perché i valori sotto la media esercitano la stessa azione complessiva di quelli sopra. I valori lontani pesano di più: basta un valore estremo per spostare molto la media.

I voti 6, 7, 8, 9 e 10 su una trave. Gli scarti da 8 sono −2, −1, 0, +1 e +2, la cui somma è 0: la trave è in equilibrio in x̄ = 8.
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I cinque voti rappresentati come punti. Il triangolo rosso sotto la retta indica la media, il punto di equilibrio; il segno verde indica la mediana. Trascina il 10 verso l'estremità destra e osserva quanto si sposta il triangolo, poi tocca uno spazio vuoto per aggiungere un sesto voto.

Quattro interi e una media di 2.5

La media non deve essere uno dei valori. La media di 1, 2, 3 e 4 è 2.5. Il numero medio di figli per famiglia può essere 1.8 anche se nessuna famiglia ha 1.8 figli. Aggiungendo la stessa quantità a tutti i valori, la media aumenta di quella quantità; raddoppiando tutti i valori, raddoppia anche la media. Cambiare un solo valore di d cambia la media di d ÷ n. Con 5 valori, aumentare un voto di 5 punti aumenta la media di 1.

La media è legata al totale, quindi puoi ragionare a ritroso. Quattro prove hanno media 80? Il totale è 320. Per una media di 82 su cinque prove serve un totale di 410, quindi la quinta deve valere 410 − 320 = 90. A volte le parti di una valutazione hanno pesi diversi: serve la media ponderata. Moltiplica ogni valore per il suo peso, somma e dividi per il peso totale. Un voto che dipende per il 60% dai compiti con 80 e per il 40% dall'esame con 90 vale 0.6 × 80 + 0.4 × 90 = 84.

Spesso i dati sono in una tabella di frequenza. Moltiplica ogni valore per il numero di volte in cui compare, somma i prodotti e dividi per il conteggio totale. Nell'insieme simmetrico di OpenStax ci sono un 4, un 5, tre 6, sei 7, tre 8, un 9 e un 10. La somma dei prodotti è 4 + 5 + 18 + 42 + 24 + 9 + 10 = 112. I valori sono 16. Quindi la media è 112 ÷ 16 = 7: ancora una media ponderata, con le frequenze come pesi.

La media di 2, 2, 2, 2 e 12 è 20 ÷ 5 = 4, un valore vicino soltanto a uno dei cinque numeri. Le prossime lezioni presentano indici meno sensibili a un valore molto grande.
MediaSomma dei valori ÷ numero di valori
x̄ e μMedia campionaria e media della popolazione
ScartoValore − media; la somma degli scarti è sempre 0
Media ponderataΣ(peso × valore) ÷ Σ pesi
  1. Qual è la media di 3, 7 e 8?
  2. Qual è la media dei voti 6, 8, 9, 7, 10?
  3. Qual è la somma degli scarti dalla media di quei voti?
  4. Quattro prove hanno media 80. Quanto deve valere la quinta per arrivare a una media di 82?
  5. I compiti con 80 pesano il 60%, l'esame con 90 il 40%. Qual è la media ponderata?
  6. Qual è la media di 2, 2, 2, 2, 12?
  7. Dati OpenStax: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8. Qual è la media?
  8. A ogni valore di un insieme con media 12 si aggiunge 5. Qual è la nuova media?
  9. Cinque valori hanno media 8. Uno aumenta di 5. Qual è la nuova media?
  10. La media può essere un numero che non compare nei dati?
    • No, mai
    • Sì, per esempio 2.5 per 1, 2, 3, 4
    • Solo se n è pari
    • Solo per dati negativi
Errori comuni
  • Fare la media di due medie: la classe A (20 studenti) ha media 70, la B (30 studenti) media 80, quindi il gruppo complessivo ha media 75. Le classi hanno dimensioni diverse. Torna ai totali: 20 × 70 + 30 × 80 = 3800 punti divisi tra 50 studenti, cioè media 76. La media semplice di due medie funziona solo con gruppi della stessa dimensione.
  • Fare la media delle percentuali: 1 tiro libero riuscito su 2 in una partita (50%) e 9 su 10 nella successiva (90%) darebbero (50% + 90%) ÷ 2 = 70%. Nella seconda partita i tiri erano cinque volte tanti. Conta i tiri: 10 riusciti su 12 fanno circa 83.3%. Fare la media delle percentuali dimentica a quale totale si riferisce ciascuna.
  • Escludere uno 0: calcolare la media dei voti 0, 6, 8 e 10 come 24 ÷ 3 = 8. Lo zero è un valore. I voti sono quattro, quindi la media è 24 ÷ 4 = 6. Escluderlo è corretto solo se 0 significa «non ha sostenuto la prova» e hai deciso di non considerare quella persona.
Nota per l'insegnanteParti dalla condivisione, prima della formula. Livellare pile di blocchetti funziona, come il barattolo delle paghette. Così «somma e dividi» ha un motivo. Dedica un minuto in più agli scarti: torneranno nella lezione sulla dispersione come primo passaggio della deviazione standard. Nelle medie ponderate, attenzione a dividere per il peso totale, non per il numero di elementi; quando i pesi sono 60% e 40%, la loro somma è già 1.
Punti chiave
  • Media = somma ÷ n (x̄ per un campione, μ per una popolazione).
  • La somma degli scarti dalla media è 0: la media è il punto di equilibrio.
  • Cambiare un valore di d sposta la media di d ÷ n.
  • Media ponderata: moltiplica per i pesi, somma, dividi per il peso totale.
Fonti di questo corso (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-01] 평균의 의미, 고려 사항 「평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다」; 중학교 1~3학년군 [9수04-01] 중앙값·최빈값과 대푯값 고르기, [9수04-07] 분산과 표준편차, [9수04-08] 상자그림으로 분포 비교, 용어 변량·대푯값·중앙값·최빈값·도수분포표·산포도·편차·분산·표준편차·사분위수·상자그림; 고등학교 확률과 통계 용어 표본평균·모평균·표본분산·표본표준편차와 기호 X̄, S², S, N(m, σ²); 실용 통계 [12실통02-04] 대푯값과 산포도 고르기)
  • Middle-school variance as the mean of the squared deviations: EBS Math 중3 「분산과 표준편차」 (www.ebsmath.co.kr/resource/rscView?cate=123500&cate2=123510&cate3=123511&rscTpDscd=RTP10&grdCd=MGRD03&sno=24525&type=S, read 2026-10-19)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 2.3 measures of location, quartiles as medians of the lower and upper halves, IQR, 1.5 × IQR outlier rule, 13 real estate prices, 11 salaries, day and evening class test scores (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-3-measures-of-the-location-of-the-data)
  • 2.5 measures of the center (.../pages/2-5-measures-of-the-center-of-the-data)
  • 2.6 skewness and the mean, median and mode, the three ten- and sixteen-value data sets (.../pages/2-6-skewness-and-the-mean-median-and-mode)
  • 2.7 measures of the spread, sample standard deviation with n − 1 (.../pages/2-7-measures-of-the-spread-of-the-data)
  • Trimmed mean only: Federal Reserve Bank of Dallas, Trimmed Mean PCE inflation rate (dallasfed.org/research/pce and /research/pce/descr)

Consultato il: 2026-10-17