A média como ponto de equilíbrio

Cinco notas, 6, 8, 9, 7 e 10, somam 40; portanto, a média é 40 ÷ 5 = 8.

Cinco amigos juntam suas mesadas

Cinco amigos recebem valores diferentes de mesada nesta semana. Os números são fictícios: $6, $8, $9, $7 e $10. Eles colocam tudo em um pote, $40 ao todo, e dividem igualmente. Cada um leva $8 para casa. Essa parte é a média. Só um dos cinco tinha exatamente $8 no início, e isso não é problema.

Quando alguém diz “a média”, quase sempre se refere à média aritmética. Some os valores e divida pela quantidade deles. As notas 6, 8, 9, 7 e 10 funcionam como as mesadas: o total é 40, há 5 notas, e a média é 40 ÷ 5 = 8. Livros de estatística escrevem a média de uma amostra como x̄ (“x barra”) e a de uma população inteira como μ, a letra grega mi. A receita é a mesma: x̄ = (soma dos valores) ÷ n.

Os desvios em relação a 8 somam zero

Agora coloque as notas sobre uma régua. Cada uma é uma moeda de mesmo peso na posição do seu número. Onde a régua se equilibra? Na média. Você pode conferir usando os desvios: a diferença entre cada valor e a média, com sinal. Para essas notas, são −2, 0, +1, −1 e +2. O total é exatamente 0. Isso acontece em qualquer conjunto de dados, pois os valores abaixo da média exercem a mesma força total que os de cima. Valores distantes puxam mais, então um valor extremo pode deslocar muito a média.

Quatro números inteiros e uma média de 2.5

A média não precisa ser um dos valores. A média de 1, 2, 3 e 4 é 2.5. A média de filhos por família pode ser 1.8, mesmo que nenhuma família tenha 1.8 filhos. Some a mesma quantidade a todos os valores, e a média aumenta nessa quantidade; dobre todos os valores, e a média dobra. Altere um único valor em d, e a média muda em d ÷ n. Em um conjunto de 5 valores, aumentar uma nota em 5 pontos aumenta a média em 1.

Como a média está ligada ao total, também é possível calcular ao contrário. Quatro provas têm média 80? Então somam 320. Para obter média 82 em cinco provas, é necessário um total de 410; a quinta nota deve ser 410 − 320 = 90. Às vezes, as partes de uma nota têm pesos diferentes, exigindo uma média ponderada: multiplique cada valor pelo peso, some e divida pela soma dos pesos. Se tarefas com nota 80 valem 60% e uma prova com nota 90 vale 40%, a nota final é 0.6 × 80 + 0.4 × 90 = 84.

Os dados muitas vezes vêm em uma tabela de frequências, não em uma lista. Multiplique cada valor pelo número de ocorrências, some os produtos e divida pela contagem total. O conjunto simétrico do OpenStax tem um 4, um 5, três 6, seis 7, três 8, um 9 e um 10. Os produtos somam 4 + 5 + 18 + 42 + 24 + 9 + 10 = 112. A contagem é 16. Portanto, a média é 112 ÷ 16 = 7: outra média ponderada, com as frequências como pesos.