Medidas de dispersão

A turma diurna do OpenStax tem amplitude interquartil de 26.5 pontos; a noturna, de apenas 11.

Um professor aplica a mesma prova a duas turmas pequenas. As notas são fictícias. A turma A obtém 70, 75, 80, 85 e 90. A turma B obtém 60, 60, 80, 100 e 100. As duas médias são 80; um relatório que apresentasse apenas a média chamaria as turmas de idênticas. Não são. Na turma A, toda nota está a até 10 pontos de 80. Na B, quatro dos cinco alunos estão a 20 pontos, dois acima e dois abaixo. O professor precisa de outro número que descreva quanto as notas se espalham. Esta aula trata da amplitude, da amplitude interquartil e do desvio padrão. As turmas diurna e noturna do OpenStax, mais adiante, mostram o mesmo efeito com dados reais.

A amplitude usa dois valores; os quartis usam a metade central

A amplitude é o maior valor menos o menor. Nas duas turmas fictícias, vale 90 − 70 = 20 e 100 − 60 = 40. É simples, mas depende de apenas dois valores, muitas vezes os menos típicos. Os quartis ajudam. Ordene os dados e encontre a mediana, também chamada Q2. O primeiro quartil Q1 é a mediana da metade inferior, e o terceiro quartil Q3 é a mediana da metade superior; quando n é ímpar, o OpenStax exclui a própria mediana das duas metades. Cerca de um quarto dos dados fica em Q1 ou abaixo, e cerca de três quartos em Q3 ou abaixo. A amplitude interquartil, IQR = Q3 − Q1, mede a largura da metade central dos dados.

O OpenStax compara duas turmas reais de estatística. A diurna tem resumo de cinco números: mínimo 32, Q1 56, mediana 74.5, Q3 82.5 e máximo 99, então seu IQR é 82.5 − 56 = 26.5. A noturna tem 25.5, 78, 81, 89 e 98, com IQR de 89 − 78 = 11. As duas amplitudes são grandes, 67 e 72.5. Os IQRs contam outra história: a metade central da turma noturna está muito mais concentrada. Um diagrama de caixa representa esses cinco números. A caixa vai de Q1 a Q3, com uma linha na mediana, e os bigodes alcançam o menor e o maior valor.

Por que elevar os desvios ao quadrado antes de tirar a média

O desvio padrão usa todos os valores. Comece pelos desvios em relação à média. Somá-los não ajuda, pois sempre totalizam 0. Então eleve-os ao quadrado, tornando-os positivos, calcule a média dos quadrados e extraia a raiz para voltar à unidade original. Para uma amostra, o OpenStax divide a soma dos quadrados por n − 1, não por n; o resultado é o desvio padrão amostral s. Nas notas 6, 8, 9, 7 e 10 (média 8), os desvios são −2, 0, 1, −1, 2. Os quadrados somam 10, a variância amostral é 10 ÷ 4 = 2.5, e s = √2.5, cerca de 1.58 ponto. Dividir por n dá o valor populacional σ = √2, cerca de 1.41. Nas duas turmas fictícias, s é aproximadamente 7.91 pontos para A e exatamente 20 para B.

Uma interpretação aproximada de s: em dados com formato de sino, cerca de dois terços dos valores ficam a até um desvio padrão da média, e cerca de 95% a até dois. Somar o mesmo número a todos os valores não altera o IQR nem s, pois os valores se deslocam juntos. Dobrar todos os valores dobra ambos. Como a média, s não é resistente. Um valor extremo pode aumentá-lo muito, enquanto o IQR quase não muda.