Как измерить разброс

Межквартильный размах дневной группы OpenStax равен 26.5 балла, а вечерней всего 11.

Учитель проверяет одну контрольную в двух небольших классах. Оценки вымышленные. Класс A получил 70, 75, 80, 85 и 90. Класс B получил 60, 60, 80, 100 и 100. Оба средних равны 80, и отчёт только со средними назвал бы классы одинаковыми. Но это не так. В классе A каждая оценка отличается от 80 не более чем на 10 баллов. В классе B четверо из пяти учеников отстоят на 20 баллов, двое выше и двое ниже. Учителю нужен ещё один показатель, описывающий разброс оценок. В уроке три меры разброса: размах, межквартильный размах и стандартное отклонение. Дневная и вечерняя группы OpenStax ниже показывают то же самое на реальных данных.

Размах использует два значения; квартили среднюю половину

Размах равен наибольшему значению минус наименьшее. Для двух вымышленных классов это 90 − 70 = 20 и 100 − 60 = 40. Просто, но результат зависит лишь от двух значений, часто наименее типичных. Квартили лучше. Упорядочь данные и найди медиану, также называемую Q2. Первый квартиль Q1 является медианой нижней половины, третий квартиль Q3 медианой верхней. При нечётном n OpenStax исключает саму медиану из обеих половин. Примерно четверть данных не больше Q1, а три четверти не больше Q3. Межквартильный размах IQR = Q3 − Q1 показывает ширину средней половины данных.

OpenStax сравнивает две реальные группы по статистике. Пять характерных чисел дневной группы: минимум 32, Q1 56, медиана 74.5, Q3 82.5 и максимум 99. Поэтому IQR = 82.5 − 56 = 26.5. У вечерней группы это 25.5, 78, 81, 89 и 98, а IQR = 89 − 78 = 11. Оба размаха велики: 67 и 72.5. Но IQR показывает иную картину: средняя половина вечерней группы собрана намного плотнее. Диаграмма размаха отображает эти пять чисел. Ящик идёт от Q1 до Q3, внутри отмечена медиана, а усы тянутся к наименьшему и наибольшему значениям.

Почему перед усреднением отклонения возводят в квадрат

Стандартное отклонение использует каждое значение. Начни с отклонений от среднего. Складывать их бесполезно: сумма всегда 0. Поэтому сначала возведи их в квадрат, чтобы сделать неотрицательными, затем усредни квадраты и извлеки корень для возврата к исходным единицам. Для выборки OpenStax делит сумму квадратов на n − 1, а не на n; результат является выборочным стандартным отклонением s. Для оценок 6, 8, 9, 7 и 10 со средним 8 отклонения равны −2, 0, 1, −1, 2. Сумма квадратов 10, выборочная дисперсия 10 ÷ 4 = 2.5, а s = √2.5, около 1.58 балла. Деление на n даёт значение для генеральной совокупности σ = √2, около 1.41. Для вымышленных классов s примерно 7.91 балла в классе A и ровно 20 в классе B.

Приблизительный смысл s: для колоколообразных данных около двух третей значений находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, а около 95% в пределах двух. Прибавление одного числа ко всем значениям не меняет ни IQR, ни s: данные сдвигаются вместе. Удвоение всех значений удваивает оба показателя. Как и среднее, s неустойчиво. Одно крайнее значение может сильно увеличить его, тогда как IQR почти не изменится.