균형점으로 보는 평균

쪽지 시험 점수 6, 8, 9, 7, 10을 더하면 40이므로 평균은 40 ÷ 5 = 8입니다.

다섯 친구가 용돈을 모아 똑같이 나누면

다섯 친구가 이번 주에 받은 용돈이 6,000원, 8,000원, 9,000원, 7,000원, 10,000원이라고 해 봅시다(지어낸 예). 이 돈을 한 통에 모으면 40,000원이고, 다섯이 똑같이 나누면 한 사람에 8,000원씩 돌아갑니다. 이 8,000원이 평균입니다. 처음부터 8,000원을 받은 친구는 다섯 가운데 한 명뿐이었지만 상관없습니다. 평균은 「모두 똑같이 나눈다면 얼마씩인가」를 알려 주는 수이기 때문입니다.

자료의 값 하나하나를 변량이라고 합니다. 평균은 변량을 모두 더해 변량의 개수로 나눈 값입니다. 쪽지 시험 점수 6, 8, 9, 7, 10도 용돈과 같은 방법으로 구합니다. 다섯 점수를 더하면 40이고 점수가 5개이니 평균은 40 ÷ 5 = 8점입니다. 통계 책은 표본의 평균을 x̄(엑스 바)로, 모집단 전체의 평균을 그리스 문자 μ(뮤)로 적어 구별합니다. 기호만 다를 뿐 계산은 같아서, 식으로 쓰면 x̄ = (변량의 합) ÷ n입니다.

8에서 잰 편차를 모두 더하면 0입니다

이번에는 점수를 자 위에 올려 봅니다. 무게가 같은 동전을 점수 자리마다 하나씩 놓는다고 생각하면 됩니다. 자가 기울지 않고 수평을 이루는 받침점이 바로 평균입니다. 이것은 편차로 확인할 수 있습니다. 편차는 변량에서 평균을 뺀 값이라서 평균보다 작은 변량은 음수, 큰 변량은 양수가 됩니다. 용돈으로 치면 6,000원을 받은 친구는 평균보다 2,000원 적고, 10,000원을 받은 친구는 2,000원 많습니다. 쪽지 시험 점수의 편차는 −2, 0, +1, −1, +2이고, 더하면 꼭 0입니다. 어떤 자료로 해도 편차의 합은 0이 됩니다. 평균보다 작은 쪽이 당기는 힘과 큰 쪽이 당기는 힘이 늘 같기 때문입니다. 멀리 떨어진 값일수록 세게 당기니, 아주 크거나 아주 작은 값 하나가 평균을 크게 옮겨 놓을 수 있습니다.

쪽지 시험 점수 6, 7, 8, 9, 10을 막대 위에 올렸습니다. 8에서의 편차 −2, −1, 0, +1, +2를 더하면 0이므로 막대는 x̄ = 8에서 균형을 이룹니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

쪽지 시험 점수 5개를 점으로 나타냈습니다. 선 아래 빨간 삼각형이 균형점인 평균이고, 초록 표시는 중앙값입니다. 10점을 오른쪽 끝까지 끌어 삼각형이 얼마나 따라가는지 보고, 빈 곳을 눌러 여섯 번째 점수를 더해 보세요.

정수 네 개의 평균이 2.5가 되기도 합니다

평균이 자료에 있는 값일 필요는 없습니다. 1, 2, 3, 4의 평균은 2.5입니다. 자녀가 1.8명인 가족은 어디에도 없지만 가족당 평균 자녀 수는 1.8명일 수 있습니다. 모든 변량에 같은 수를 더하면 평균도 그만큼 커지고, 모든 변량을 2배 하면 평균도 2배가 됩니다. 변량 하나만 d만큼 바꾸면 평균은 d ÷ n만큼 움직입니다. 변량이 5개인 자료에서 점수 하나를 5점 올리면 평균은 1점 오르는 식입니다. 앞의 용돈에서도 평균 8,000원이 한 친구의 용돈과 같았던 것은 우연이고, 같아야 할 까닭은 없습니다.

평균은 합계와 묶여 있어서 거꾸로 계산하기도 쉽습니다. 시험 4번의 평균이 80점이면 합은 80 × 4 = 320점입니다. 5번의 평균을 82점으로 맞추려면 합이 410점이어야 하니, 다섯 번째 시험에서 410 − 320 = 90점이 필요합니다. 항목마다 반영 비율이 다를 때는 가중 평균을 씁니다. 값마다 가중치를 곱해 더한 다음 가중치의 합으로 나눕니다. 과제 80점을 60%, 시험 90점을 40% 반영하는 과목이라면 성적은 0.6 × 80 + 0.4 × 90 = 84점입니다. 수행평가와 지필평가를 정해진 비율로 합치는 학교 성적도 같은 계산입니다.

자료가 목록 대신 도수분포표로 주어지기도 합니다. 이때는 변량에 도수를 곱하고, 그 곱을 모두 더해 도수의 합으로 나눕니다. OpenStax 교재의 대칭 자료는 4가 1개, 5가 1개, 6이 3개, 7이 6개, 8이 3개, 9가 1개, 10이 1개입니다. 곱을 더하면 4 + 5 + 18 + 42 + 24 + 9 + 10 = 112이고 도수의 합은 16이므로 평균은 112 ÷ 16 = 7입니다. 도수를 가중치로 쓴 가중 평균과 같은 계산입니다.

2, 2, 2, 2, 12의 평균은 20 ÷ 5 = 4로, 다섯 수 가운데 이 값 근처에 있는 것은 하나도 없습니다. 다음 단원에서는 큰 값 하나에 덜 흔들리는 다른 대푯값을 다룹니다.

평균	값의 합 ÷ 값의 개수
x̄와 μ	표본 평균과 모집단 평균
편차	값 − 평균, 편차의 합은 항상 0
가중 평균	Σ(가중치 × 값) ÷ Σ가중치

3, 7, 8의 평균은?
쪽지 시험 점수 6, 8, 9, 7, 10의 평균은?
그 점수들의 편차를 모두 더하면?
시험 4번의 평균이 80점입니다. 5번의 평균이 82점이 되려면 다섯 번째 시험은 몇 점이어야 하나요?
과제 80점이 60%, 시험 90점이 40%입니다. 가중 평균은?
2, 2, 2, 2, 12의 평균은?
OpenStax 자료 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8의 평균은?
평균이 12인 자료의 모든 값에 5를 더했습니다. 새 평균은?
값 5개의 평균이 8입니다. 그중 하나가 5만큼 커지면 새 평균은?
평균이 자료에 없는 수일 수 있나요?
- 절대 아니다
- 그렇다, 예를 들어 1, 2, 3, 4의 평균 2.5
- n이 짝수일 때만
- 음수 자료일 때만

자주 하는 실수

1반(20명) 평균 70점과 2반(30명) 평균 80점을 더해 2로 나누고, 두 반 전체 평균을 75점이라고 하기 두 반의 인원이 다릅니다. 합계로 돌아가면 20 × 70 + 30 × 80 = 3,800점을 50명이 나누니 평균은 76점입니다. 평균끼리 다시 평균을 내도 되는 것은 두 집단의 크기가 같을 때뿐입니다. 두 반이 25명씩이었다면 75점이 맞습니다.
자유투를 첫 경기에 2개 중 1개(50%), 다음 경기에 10개 중 9개(90%) 넣었으니 성공률이 (50% + 90%) ÷ 2 = 70%라고 하기 두 번째 경기에서 던진 공이 5배 많습니다. 공 개수로 세면 12개 중 10개라서 약 83.3%입니다. 백분율을 그대로 평균 내면 각 백분율이 무엇의 몇 %인지가 빠집니다. 경기마다 던진 개수가 같을 때만 두 백분율의 평균이 전체 성공률과 같아집니다.
점수 0, 6, 8, 10에서 0을 빼고 24 ÷ 3 = 8점이라고 하기 0점도 변량입니다. 점수가 4개이므로 평균은 24 ÷ 4 = 6점입니다. 0을 빼면 평균이 2점이나 부풀려집니다. 0이 「시험을 보지 않았음」을 뜻하고 그 사람을 빼기로 정했을 때만 뺄 수 있습니다.

선생님 메모초등학교 5~6학년군 성취기준 [6수04-01]은 「평균의 의미를 알고, 자료를 수집하여 평균을 구하고 해석할 수 있다」이고, 고려 사항에는 「평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다」고 적혀 있습니다. 그래서 식보다 고르게 나누는 장면을 먼저 보여 주면 좋습니다. 쌓기나무 높이를 고르게 맞추거나 앞의 용돈 통을 쓰면 「더해서 나눈다」에 까닭이 생깁니다. 편차에는 1분만 더 쓰세요. 중학교 1~3학년군 [9수04-07]에서 분산과 표준편차를 배울 때 첫 단계로 다시 나옵니다. 표본평균과 모평균은 고등학교 확률과 통계의 용어이고, 그 과목은 표본평균을 X̄로, 모평균을 N(m, σ²)의 m처럼 씁니다. 이 단원의 x̄와 μ는 OpenStax 교재의 표기입니다. 가중 평균에서는 가중치의 합 대신 항목 수로 나누기 쉬우니, 60%와 40%처럼 가중치의 합이 1이면 따로 나눌 것이 없다는 점을 같이 보여 주세요.

핵심 정리

평균 = 합 ÷ n(표본은 x̄, 모집단은 μ).
평균에서의 편차를 더하면 0: 평균은 균형점.
값 하나를 d만큼 바꾸면 평균은 d ÷ n만큼 바뀜.
가중 평균: 가중치를 곱해 더한 뒤 가중치 합으로 나눔.

이 과정의 출처 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-01] 평균의 의미, 고려 사항 「평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다」; 중학교 1~3학년군 [9수04-01] 중앙값·최빈값과 대푯값 고르기, [9수04-07] 분산과 표준편차, [9수04-08] 상자그림으로 분포 비교, 용어 변량·대푯값·중앙값·최빈값·도수분포표·산포도·편차·분산·표준편차·사분위수·상자그림; 고등학교 확률과 통계 용어 표본평균·모평균·표본분산·표본표준편차와 기호 X̄, S², S, N(m, σ²); 실용 통계 [12실통02-04] 대푯값과 산포도 고르기)
Middle-school variance as the mean of the squared deviations: EBS Math 중3 「분산과 표준편차」 (www.ebsmath.co.kr/resource/rscView?cate=123500&cate2=123510&cate3=123511&rscTpDscd=RTP10&grdCd=MGRD03&sno=24525&type=S, read 2026-10-19)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 2.3 measures of location, quartiles as medians of the lower and upper halves, IQR, 1.5 × IQR outlier rule, 13 real estate prices, 11 salaries, day and evening class test scores (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-3-measures-of-the-location-of-the-data)
2.5 measures of the center (.../pages/2-5-measures-of-the-center-of-the-data)
2.6 skewness and the mean, median and mode, the three ten- and sixteen-value data sets (.../pages/2-6-skewness-and-the-mean-median-and-mode)
2.7 measures of the spread, sample standard deviation with n − 1 (.../pages/2-7-measures-of-the-spread-of-the-data)
Trimmed mean only: Federal Reserve Bank of Dallas, Trimmed Mean PCE inflation rate (dallasfed.org/research/pce and /research/pce/descr)

확인한 날: 2026-10-17