이상값과 1.5 × IQR 규칙
OpenStax 야간반에서 1.5 × IQR 규칙은 45점과 25.5점을 이상값으로 표시합니다. 둘 다 61.5보다 작기 때문입니다.
45점은 이 반의 이상값일까요
아래 실험실부터 시작합니다. OpenStax 교재의 야간반 점수 22개에 이상값 울타리를 켜 두었습니다. 만지기 전에 먼저 짐작해 보세요. 45점은 이상값일까요? 25.5점은요? 빨간 테두리를 확인한 다음 45점을 천천히 위로 끌다가, 테두리가 사라지는 순간 멈춥니다. 그 자리가 몇 점인지 기억해 두세요. 실험실 아래 문단에서 그 수가 어디서 나왔는지 설명합니다. 45점을 끄는 동안 빨간 점선은 제자리에 있습니다. 45점이 78점 아래에 머무는 동안에는 Q1과 Q3이 바뀌지 않기 때문입니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
이상값은 나머지 자료에서 유난히 멀리 떨어진 값입니다. 입력 실수나 고장 난 센서가 낸 값일 수도 있지만, 실제로 있는 중요한 사례일 수도 있습니다. 집값 자료 속 대저택 한 채나, 약에 남들과 다르게 반응한 환자 한 명이 그런 경우입니다. OpenStax 교재는 이상값을 자동으로 지우지 말고 자세히 들여다보라고 권합니다. 들여다보려면 먼저 「유난히 멀다」의 기준을 공정하게 정해야 합니다.
사분위수에서 IQR의 1.5배만큼 바깥에 세우는 울타리
흔히 쓰는 규칙은 사분위수로 울타리 두 개를 세웁니다. 아래 울타리는 Q1 − 1.5 × IQR, 위 울타리는 Q3 + 1.5 × IQR입니다. 아래 울타리보다 작거나 위 울타리보다 큰 값은 이상값 후보로 봅니다. 평균 대신 사분위수를 쓰는 데는 까닭이 있습니다. 이상값이 평균이나 표준편차를 끌고 가듯이 울타리를 바깥으로 밀어내지는 못하기 때문입니다. 실험실에서 45점을 움직여도 빨간 점선이 제자리에 있었던 것도 같은 까닭입니다.
실험실의 야간반은 Q1 = 78, Q3 = 89, IQR = 11입니다. 울타리는 78 − 1.5 × 11 = 61.5와 89 + 1.5 × 11 = 105.5이고, 45점의 테두리가 사라진 자리가 바로 61.5입니다. 45점과 25.5점은 61.5보다 작으니 둘 다 이상값이고, 105.5보다 큰 점수는 없습니다. IQR이 26.5인 주간반은 울타리가 16.25와 122.25라서 32점도 안쪽에 들어옵니다. OpenStax 교재의 연봉 11개는 Q1 = 40.5, Q3 = 69, IQR = 28.5이므로 위 울타리가 69 + 42.75 = 111.75천 달러이고, 12만 달러 연봉은 이상값 후보가 됩니다. 집값 13개의 위 울타리는 1,159,375달러입니다. 550만 달러짜리 집은 한참 바깥에 있고, 1,095,000달러짜리 집은 아슬아슬하게 안쪽입니다.
낮은 점수 두 개가 평균을 4점 넘게 끌어내립니다
야간반 자료를 이상값 두 개가 있을 때와 없을 때로 나눠 봅니다. 22개 점수 전체는 평균 약 79.05, 중앙값 81, 표준편차 약 16.8입니다. 45점과 25.5점을 빼면 남은 20개 점수는 평균 약 83.43, 중앙값 82, 표준편차 약 9.0입니다. 평균은 4점 넘게 올랐고 표준편차는 거의 절반으로 줄었는데, 중앙값은 1점 움직였을 뿐입니다. 22개 가운데 겨우 2개인 점수가 표준편차를 이만큼 바꿉니다. 연봉도 마찬가지입니다. 12만 달러 연봉을 빼면 평균은 약 58,682달러에서 52,550달러로 떨어지고, 중앙값은 54,000달러 그대로입니다.
그러면 이상값은 어떻게 다뤄야 할까요? 먼저 85.5를 25.5로 잘못 입력한 것 같은 실수인지 확인합니다. 실수이고 바로잡을 수 있으면 고칩니다. 실제 값이라면 지우지 말고 이상값이 있다고 밝힌 뒤, 평균과 표준편차 옆에 저항성 있는 중앙값과 IQR도 함께 적을지 생각해 봅니다. 불편하다는 이유로 실제 값을 지우면 자료가 들려주는 이야기가 달라집니다. 울타리 규칙은 판결이 아니라 표시입니다. 「이상값 후보」는 「여기를 자세히 보라」는 뜻입니다. 지어낸 반 수학 점수 0, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 88로 해 보면 Q1 = 73.5, Q3 = 83.5, IQR = 10이라 아래 울타리는 58.5이고, 0점은 이상값입니다. 그 0점이 결석한 날 기록된 점수라면 시험 점수가 아니니 빼고, 실제로 받은 점수라면 남깁니다.
| 이상값 | 나머지 자료에서 유난히 멀리 떨어진 값 |
| 아래 울타리 | Q1 − 1.5 × IQR |
| 위 울타리 | Q3 + 1.5 × IQR |
| 이상값을 만나면 먼저 | 오류인지 확인, 자동으로 지우지 않음 |
- 야간반: Q1 = 78, IQR = 11. 아래 울타리는?
- 야간반: Q3 = 89, IQR = 11. 위 울타리는?
- 야간반 점수 가운데 이상값은 몇 개인가요?
- 연봉: Q3 = 69, IQR = 28.5(천 달러). 위 울타리는?
- 집값: Q3 = 649,000, IQR = 340,250. 위 울타리는 몇 달러?
- 1,095,000달러짜리 집은 1.5 × IQR 규칙으로 이상값인가요?
- 예
- 아니요, 위 울타리보다 작음
- 자료 12, 15, 11, 14, 13, 40. 위 울타리는(Q1 = 12, Q3 = 15)?
- 이상값 두 개를 뺀 야간반 평균을 소수 둘째 자리까지?
- 야간반에서 낮은 이상값 두 개를 빼면 가장 적게 바뀌는 것은?
- 평균
- 표준편차
- 중앙값
- 범위
- 85.5를 잘못 입력한 것일지도 모르는 25.5점을 발견했습니다. 먼저 할 일은?
- 지운다
- 원래 기록을 확인한다
- 평균으로 바꾼다
- 무시한다
- 중앙값에서 울타리를 세워 81 − 16.5 = 64.5와 81 + 16.5 = 97.5를 얻고, 98점 세 개를 이상값이라고 하기 울타리는 중앙값이 아니라 사분위수에서 잽니다. 중앙값 81은 상자 안의 선일 뿐이고, 울타리는 상자의 양 끝인 Q1과 Q3에서 바깥으로 잽니다. Q1 = 78, Q3 = 89에서 재면 61.5와 105.5이고, 98점은 넉넉히 안쪽입니다.
- 1.5를 빠뜨리고 78 − 11 = 67, 89 + 11 = 100으로 울타리를 잡아 65점까지 이상값으로 보기 IQR에 1.5를 곱한 다음 빼고 더해야 합니다. 1.5를 빠뜨리면 울타리가 상자에 너무 가까워져서 평범한 점수까지 걸립니다. 65점은 실제 아래 울타리 61.5보다 크므로 바깥에 있는 점수는 45점과 25.5점뿐입니다.
- 연봉 11개의 평균 약 58,682달러만 적고 「보통 직원의 연봉」이라고 하기 12만 달러 연봉 하나가 평균을 끌어올렸습니다. 그 값을 빼면 평균은 52,550달러로, 오히려 중앙값 54,000달러보다 낮아집니다. 이상값 후보가 있는 자료라면 중앙값을 평균 옆에 같이 적어야 합니다.
- 울타리: Q1 − 1.5 × IQR, Q3 + 1.5 × IQR. 그 밖의 값은 이상값 후보.
- 이상값은 평균과 표준편차를 크게, 중앙값과 IQR은 조금 움직임.
- 이상값은 오류인지 확인하고, 자료를 깔끔하게 하려고 실제 값을 지우지 않음.
이 과정의 출처 (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-01] 평균의 의미, 고려 사항 「평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다」; 중학교 1~3학년군 [9수04-01] 중앙값·최빈값과 대푯값 고르기, [9수04-07] 분산과 표준편차, [9수04-08] 상자그림으로 분포 비교, 용어 변량·대푯값·중앙값·최빈값·도수분포표·산포도·편차·분산·표준편차·사분위수·상자그림; 고등학교 확률과 통계 용어 표본평균·모평균·표본분산·표본표준편차와 기호 X̄, S², S, N(m, σ²); 실용 통계 [12실통02-04] 대푯값과 산포도 고르기)
- Middle-school variance as the mean of the squared deviations: EBS Math 중3 「분산과 표준편차」 (www.ebsmath.co.kr/resource/rscView?cate=123500&cate2=123510&cate3=123511&rscTpDscd=RTP10&grdCd=MGRD03&sno=24525&type=S, read 2026-10-19)
- Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 2.3 measures of location, quartiles as medians of the lower and upper halves, IQR, 1.5 × IQR outlier rule, 13 real estate prices, 11 salaries, day and evening class test scores (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-3-measures-of-the-location-of-the-data)
- 2.5 measures of the center (.../pages/2-5-measures-of-the-center-of-the-data)
- 2.6 skewness and the mean, median and mode, the three ten- and sixteen-value data sets (.../pages/2-6-skewness-and-the-mean-median-and-mode)
- 2.7 measures of the spread, sample standard deviation with n − 1 (.../pages/2-7-measures-of-the-spread-of-the-data)
- Trimmed mean only: Federal Reserve Bank of Dallas, Trimmed Mean PCE inflation rate (dallasfed.org/research/pce and /research/pce/descr)
확인한 날: 2026-10-17